Cuasi-concavidad de la función de beneficio

Question

Estoy haciendo un ejercicio sencillo de mi libro de texto: supongamos que la función de ingresos es $R(p)=p^{1-\epsilon}$ avec $\epsilon > 0$ . Supongamos que la función de costes es convexa. Demuestre que la función de beneficios es cuasi-cóncava si $\epsilon > 1$ .

Mi intento: Que la función de demanda sea entonces $q(p)=p^{-\epsilon}$ y la función de costes algunos $c(q(p))$ .

La condición de primer orden es $(1-\epsilon)p^{-\epsilon}-c'(q(p))q'(p)$ y la condición de segundo orden $-\epsilon(1-\epsilon)p^{-\epsilon-1}-c''(q(p))q'(p)^2-c'(q(p))q''(p)$ .

El segundo término $-c''(q(p))q'(p)^2$ y el tercer término $-c'(q(p))q''(p)$ son negativos bajo la convexidad de la función de costes. Por tanto, la condición de segundo orden es inequívocamente negativa si el primer término es negativo. Pero eso ocurre para $\epsilon<1$ lo contrario de lo que se conjetura.

Answer 1

Su intento es casi correcto.

Sea la función de demanda $D(p) = p^{-\epsilon}$ y la función de costes algunos $C(D(p))$ para que $R(p) = D(p)p = p^{1-\epsilon}$ ¿verdad?

Entonces, yo reescribiría tus condiciones de primer y segundo orden - ya que sólo proporcionaste las expresiones pero sería genial escribirlas en forma de ecuaciones (o inecuaciones). Así:

Condición de primer orden: $R'(p) - C'(D(p))D'(p) =0$

Y la segunda orden: $R''(p) - C''\left(D(p)\right)\cdot D'(p)^2 - C'(D(p))D''(p) < 0$

Este es el momento en el que dividimos nuestros enfoques. También estoy de acuerdo en que el segundo término de la condición de segundo orden es negativo. Sin embargo, no es necesariamente $R''(p)$ que es negativo - más bien toda la relación $$R''(p) - C'(D(p))D''(p)<0 \;(*)$$ Ahora, queremos que la condición de segundo orden se cumpla para cada $p$ que satisface la condición de primer orden. Así, sustituiría la $C'(D(p))$ de la primera condición a la $(*)$ y por lo tanto, termino con: $$R''(p) - \frac{R'(p)D''(p)}{D'(p)} <0 \;(**)$$

Ahora es el momento de la fuerza bruta. Calcula todas las derivadas en $(**)$ .

$$ -\epsilon(1-\epsilon)p^{-1-\epsilon} - \frac{(1-\epsilon)p^{-\epsilon} \cdot -\epsilon(-1-\epsilon)p^{-2-\epsilon}}{-\epsilon p^{-1-\epsilon}} <0 \implies \epsilon > 1$$ para ambos, $p$ y $\epsilon$ positivo.

P.D. Si lo piensas, dejar que $\epsilon<1$ implicaría que $R'(p)>0$ y, por tanto, la condición de primer orden no tendría soluciones. ¿Por qué?

P.P.S. Creo que un ejercicio similar está en Organización industrial: Mercados y Estrategias por Belleflamme y Peitz en su capítulo sobre "estrategias de precios de monopolio" pero con las demandas inversas $P(q)$ .