Intuición de conceptos de solución en juegos no cooperativos

Question

Ahora estoy leyendo el documento de Nash de 1951 Juegos no cooperativos y estoy tratando de entender la intuición detrás de los conceptos de solución.

Soluciones(Nash 1951)

Un juego es solucionable si su conjunto $S$ de los puntos de equilibrio satisface la condición para todos los $i$ 's $$(t;r_{i})\in S\,\,and\,\,s\in S \implies (s;r_{i})\in S\tag{1}$$ Aquí $t$ y $s$ son $n$ -Perfil de estrategia de la pareja. Además, si $t=(t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})$ entonces $(t;r_{i})=(t_{1},\cdots,t_{i-1},r_{i},t_{i+1},\cdots)$ . Es decir $(t;r_{i})$ es el perfil de estrategia con el jugador $i$ La estrategia de la empresa es ahora $r_{i}$ .

La solución de un juego solucionable es su conjunto $S$ de los puntos de equilibrio.

Un juego es fuertemente solucionable si tiene solución $S$ s.t para todos $i$ 's $$s\in S\,\,and\,\, p_{i}(s;r_{i})=p_{i}(s)\implies (s;r_{i})\in S\tag{2}$$ Aquí $p_{i}(s)=\max_{r_{i}}p_{i}(s;r_{i})$ , donde $p_{i}$ es la recompensa para el jugador $i$ . es decir $p_{i}(s)$ es la recompensa máxima para el jugador $i$ teniendo en cuenta los oponentes que juegan $s_{-i}$ .

Sub-soluciones: Si $S$ es un subconjunto del conjunto de puntos de equilibrio de un juego resoluble y para cada $s \in S$ la condición $p_{i}(s)=max_{r_{i}}p_{i}(s;r_{i})$ se satisface, y si $S$ es máxima en relación con esta propiedad, llamamos a $S$ una sub-solución.

Conjuntos de factores: Para cualquier sub-solución $S$ definimos el $i$ -el conjunto de factores $S_{i}$ como el conjunto de todos los $s_{i}$ s.t $(t;s_{i})\in S$ para algunos $t$ ,

Teorema 3: Una subsolución $S$ es el conjunto de todos los $n$ -tuplas $(s_{1},\dots,s_{n})$ s.t cada uno $s_{i}\in S_{i}$ donde $S_{i}$ es el $i^{th}$ conjunto de factores de $S$ . Geométricamente, $S$ es el producto de sus conjuntos de factores.

Estas son mis preguntas.

1. ¿Por qué necesitamos estos conceptos de solución?

No entiendo muy bien la intuición que hay detrás de estos conceptos de solución. Además, dado que una solución puede no existir en un juego, parece que el concepto de puntos de equilibrio puede aplicarse a una clase de juegos más amplia que estos conceptos de solución. Además, se ha mencionado en el documento que si existe una solución, entonces es única. Entonces parece que no necesitamos diferenciar entre soluciones y soluciones fuertes porque sólo puede haber una solución (solución fuerte si existe) y las condiciones (1) y (2) se cumplirán trivialmente.

2. La diferencia entre los puntos de sub-solución y de equilibrio

Estoy un poco confundido sobre la diferencia entre sub-solución y puntos de equilibrio. De la definición de subsolución, parece que es exactamente el conjunto que contiene todos los puntos de equilibrio. Sin embargo, basándonos en el Teorema 3, es el producto cartesiano de sus conjuntos factoriales. Por ejemplo, supongamos que en un juego donde el conjunto de todos los puntos de equilibrio es $S=\{(U,L),(D,R)\}$ . Entonces, en base a la definición, la sub-solución también debe ser $S$ . Pero por el teorema $3$ la sub-solución debe ser $\{(U,L),(U,R),(D,L),(D,R)\}$ .

Agradezco mucho si alguien me puede ayudar en esto. Gracias de antemano.

Answer 1

La idea de un juego soluble se inspira probablemente en la teoría de los juegos de suma cero para dos jugadores. Se sabe que este tipo de juegos son solubles; una simple consecuencia de la teorema minimax .

Una forma de pensar en la solvencia es que el uso de los puntos de equilibrio como concepto de solución no le dice al jugador cómo debe comportarse, ya que para ello necesitaría saber en qué punto de equilibrio se juega. Si el juego es soluble, esta cuestión no se plantea.

Una característica indeseable de los puntos de equilibrio en las estrategias mixtas es que un jugador que juega una respuesta mixta óptima siempre será indiferente entre todas las estrategias puras sobre las que está aleatorizando y, en consecuencia, todas las mezclas de estas estrategias puras. Sin embargo, los puntos de equilibrio pueden requerir que un jugador aleatorice de una manera muy especial. En una solución fuerte, deben incluirse todas las mejores respuestas posibles y no se plantea el problema mencionado.

Por último, el problema con la definición de una subsolución proviene de un error tipográfico que Nash cometió, presumiblemente al convertir su tesis en un documento. El documento publicado hace referencia a una condición (1) que en realidad es la definición de un punto de equilibrio. La tesis original de Nash también se refiere a (1) en el mismo lugar, pero (1) se refiere a algo diferente allí.

La definición correcta de una sub-solución es que es un conjunto máximo $S$ de puntos de equilibrio que satisfacen la condición: $$(t;r_{i})\in S\,\,and\,\,s\in S \implies (s;r_{i})\in S.$$