Sistema de ecuación diferencial parcial de primer orden

Question

Tengo la siguiente función -

$$ \max_{x, y} ~ u(x, y)^{3}x + (1-u(x, y))^{3}y$$

FOC: $$u_{x}(3u(x, y)^{2}x - 3(1-u(x, y))^{2}y) +u(x,y)^{3} = 0$$ ... (1)

$$u_{y}(3u(x, y)^{2}x - 3(1-u(x, y))^{2}y) +(1-u(x,y))^{3} = 0$$ ... (2)

¿Puedo resolverlo como - Tratar (1) como oda en x y (2) como oda en y y resolverlas por separado y luego obtener u(x, y) = $sol_{(1)}*sol_{(2)}$

Sólo necesito que me aclaren y me orienten si estoy equivocado.

Gracias

Answer 1

No creo que su razonamiento sea correcto. Algunas observaciones:

• Si tienes un problema de optimización, entonces supones que conoces la función objetivo, que en tu caso contiene la función $u(x,y)$ . Como tal, esta función es conocida y se desea encontrar los valores particulares $x^*$ y $y^*$ que maximice su función objetivo. En otras palabras, los valores óptimos $x^*$ y $y^*$ son incógnitas pero $u(x,y)$ se conoce. Si se resuelve una oda, entonces la función en sí es desconocida.

• A continuación, observa que si tienes una oda, como $$ u_x(3u(x,y)2x3(1u(x,y))2y)+u(x,y)3=0 $$ Entonces se asume intrínsecamente que esta ecuación es válida para todo valores de $x$ y $y$ en el ámbito de $u$ . En otras palabras, tienes una identidad. enlace wiki

• Por otro lado, si se derivan las condiciones de primer orden para un problema de optimización, entonces esta condición de primer orden sólo se mantendrá en los puntos óptimos particulares (candidatos) $x^\ast$ y $y^\ast$ pero no se obtendrá una identidad que valga para todos $x$ y $y$ . Por ello, los métodos utilizados para resolver las EDO no son adecuados para resolver las condiciones de primer orden.