Simetría de un juego

Question

Ahora estoy leyendo el documento de Nash de 1951 Juegos no cooperativos y tengo una pregunta sobre la definición de simetría de un juego.

Simetrías de los juegos (Nash 1951)

Si dos estrategias pertenecen a un solo jugador, deben ir a dos estrategias pertenecientes a un solo jugador. Así, si $\phi$ es la permutación de las estrategias puras, induce una permutación $\psi$ de los jugadores.

Cada $n$ -de estrategias puras se permuta en otra $n$ -de estrategias puras. Podemos llamar $\lambda$ la permutación inducida de estos $n$ -tuplas. Sea $\xi$ denotan un $n$ -tupla de estrategias puras y $p_{i}(\xi)$ el pago al jugador $i$ cuando el $n$ -tupla $\xi$ se emplea. Exigimos que si $j=i^{\psi}$ entonces $p_{j}(\xi^{\lambda})=p_{i}(\xi)$ .

La permutación $\phi$ tiene una extensión lineal única a las estrategias mixtas. Si $$s_{i}=\sum_{\alpha}c_{i\alpha}\pi_{i\alpha}$$ Definimos $(s_{i})^{\phi}=\sum_{\alpha}c_{i\alpha}(\pi_{i\alpha})^{\phi}$

La ampliación de $\phi$ a las estrategias mixtas genera claramente una extensión de $\lambda$ a la $n$ -partidas de estrategias mixtas. También lo denotaremos por $\lambda$ .

Definimos una simetría $n$ -tupla $\mathcal S$ de un juego por $\mathcal S^{\lambda}=\mathcal S$ para todos $\lambda$ .

En la notación de Nash, $c_{i\alpha}$ es el peso de la probabilidad de la acción $\pi_{i\alpha}$ . es decir $\sum_{\alpha}c_{i\alpha}=1$ y $c_{i\alpha}\geq 0$ . $\pi_{i\alpha}$ es el $\alpha$ -en el espacio de estrategias puras del jugador $i$ . es decir $S_{i}=\{\pi_{i\alpha}\}_{\alpha=1}^{N_{i}}$ donde $N_{i}$ es finito.

No entiendo muy bien la definición de permutación de estrategias. Me parece que hay dos interpretaciones para esto.

La primera interpretación es que es una permutación de estrategias dentro del jugador $i$ de la estrategia de un jugador. Por ejemplo, si el espacio estratégico de un jugador es $S=\{U,D\}$ , entonces una permutación es $S'=\{D,U\}$ . Pero si este es el caso, ¿cómo puede inducir una permutación en los jugadores?

La segunda interpretación es que es una permutación de un perfil de estrategia. Para ser más específicos, supongamos que en un juego con jugadores $1$ y $2$ con $S_{1}=\{L,R\}$ y $S_{2}=\{U,D\}$ y un perfil estratégico $\xi=(L,U)$ . Entonces $(U,L)$ una permutación de $(L,U)$ tal y como se ha definido anteriormente y el $\psi$ cambia los jugadores de $\{1,2\}$ a $\{2,1\}$ .

Sin embargo, si la segunda interpretación es correcta, supongamos que el perfil de la estrategia es $(\frac{1}{3}L+\frac{2}{3}R,\frac{1}{4}U+\frac{3}{4}D)$ entonces una posible permutación del perfil estratégico mixto es $(\frac{1}{3}U+\frac{2}{3}D,\frac{1}{4}L+\frac{3}{4}R)$ ¿significa que una tupla simétrica de un juego sólo existe cuando los espacios de estrategia pura son iguales para todos los jugadores?

Gracias de antemano.

Answer 1

He dividido mi respuesta en dos partes, una sobre cómo se definen las simetrías y otra sobre el significado de una tupla simétrica.

1. En principio, una simetría es una permutación de la unión disjunta de todos los espacios de estrategia pura de todos los jugadores. Así, se pueden derivar simetrías en las tuplas de estrategias puras. Si una simetría $\phi$ mapea una estrategia (pura) de un jugador, llamémosle Ann a una estrategia de otro jugador, Bob, entonces Ann y Bob deben tener el mismo número de estrategias. Para ver esto, observe que $\phi$ mapea por suposición dos estrategias cualesquiera de Ann a estrategias de Bob. Dado que $\phi$ es inyectiva, Bob debe tener al menos tantas estrategias como Ann. Pero $\phi^{-1}$ mapea algunas, y por tanto todas, las estrategias de Bob a las estrategias de Ann. Dado que $\phi^{-1}$ es inyectiva, Ann debe tener al menos tantas estrategias como Bob. Juntos, deben tener el mismo número de estrategias. No es necesario que las estrategias tengan la misma etiqueta. Además, una simetría también puede cambiar las estrategias de un solo jugador.

2. Una tupla es simétrica si se mapea a sí misma por cada simetría inducida sobre tuplas. Ahora bien, cuanto más "simétrico" es un juego, más simetrías tiene. Pero un juego puede ser tan asimétrico que la única simetría es la trivial que asigna cada estrategia a sí misma. En un juego así, cada tupla es asignada por todas las simetrías (en realidad, la única) a sí misma. Así que cada tupla en tal juego es simétrica. Si una simetría en su ejemplo permuta $U$ y $L$ entonces también debe permutar $R$ y $D$ . Supongamos que estas simetrías junto con sus inversas y la identidad son las únicas simetrías. El perfil $(\frac{1}{3}L+\frac{2}{3}R,\frac{1}{4}U+\frac{3}{4}D)$ no es una tupla simétrica, porque no se mapea a sí misma. Sin embargo, la tupla $(\frac{1}{3}L+\frac{2}{3}R,\frac{1}{3}U+\frac{2}{3}D)$ sería simétrica.