Juego de votación por mayoría

Question

Hay tres jugadores con tres alternativas A,B y C. Los jugadores votan simultáneamente y gana la mayoría. Si no hay mayoría, gana A. Los resultados son:

$U_1(A) = U_2(B) = U_3(C) = 2$
$U_1(B) = U_2(C) = U_3(A) = 1$
$U_1(C) = U_2(A) = U_3(B) = 0$

Los estados de ejemplo (A,B,C), (A,A,A) y (A,B,A) son todos NE. Entiendo por qué son NE (puedo razonar esto) pero no entiendo el proceso para llegar a esto. Podría escribir todos los perfiles estratégicos posibles y tratar de razonar cada uno de ellos, pero tiene que haber una manera mejor y más eficiente. Tampoco puedo dibujar la matriz para este juego como normalmente lo haría para resolver para NE para encontrar la mejor respuesta. Las preferencias aquí también violan la transitividad, lo que aumenta mi confusión.

Mi pregunta es ¿cómo puedo encontrar todas las NE?

¿Hay más NE que estas 3 que menciona el ejemplo?

Cómo encontrar múltiples perfiles de estrategia que soporten estas NE, es decir, veo que A puede ser soportada por (A,B,C) y (A,A,A) (si hay otras NE).

Este es el ejemplo 1.5 de Fudenburg y Tirole.

Edit: Ok creo que (B,B,B) y (C,C,C) y (A,C,C) son los otros NE. No encuentro más. ¿Es correcto?

Answer 1

NOTA: Asumo que los empates se resuelven aleatoriamente. Por lo tanto, si cada votante vota por un candidato diferente, entonces cada candidato es elegido con una probabilidad de 1/3. Por lo tanto, la recompensa esperada de cada votante es igual a 1.

Las cifras en negrita reflejan las mejores respuestas. NE significa que los tres números están en negrita (lo siento, las estrellas dobles la tabla de marcado no funciona).

Observe que A es la estrategia dominante para el jugador 1, si cualquier otro jugador juega A. Lo mismo para el jugador 2 con B, y el jugador 3 con C.

El jugador 3 juega A

| 1/2 | A                  |   B                 | C                   |
|----|---------------------|---------------------|---------------------|
| A  | **2**, **0**, **1** | **2**, **0**, **1** | **2**, **0**, 1 |
| B  | 2, 0, **1**         | 1, **2**, **0**     | 1, 1, 1         |
| C  | 2, 0, 1             | 1, **1**, 1         | 0, **1**, **2**     |

El jugador 3 juega B

| 1/2 | A              |   B                 | C               |
|----|-----------------|---------------------|-----------------|
| A  | **2**, 0, **1** | **1**, **2**, 0     | **1**, 1, 1     |
| B  | 1, **2**, 0     | **1**, **2**, **0** | **1**, **2**, 0 |
| C  | 1, 1, 1         | **1**, **2**, 0     | 0, 1, **2**         |

El jugador 3 juega C

| 1/2 | A              |   B                 | C               |
|----|-----------------|---------------------|-----------------|
| A  | **2**, 0, **1** | **1**, **1**, **1**     | **0**, **1**, **2** |
| B  | 1, 1, **1*      | **1**, **2**, **0** | **0**, 1, **2**     |
| C  | 0, **1**, **2** | 0, **1**, **2**     | **0**, **1**, **2**    |

Toda la estrategia pura Nash Eqbia :

• A, A, A
• A, B, A
• B, B, B
• A, B, C
• B, B, C
• A, C, C
• C, C, C

Answer 2

La forma correcta de resolver todos los NE ya está especificada en los comentarios. Pero en comparación con escribir todos los perfiles de estrategia y luego comprobar, lo siguiente puede ser una mejor manera:

Hay tres tipos de perfiles estratégicos:

1. Todos votan por el mismo candidato: $3$ estos perfiles
2. Todos votan por un candidato diferente: $6$ estos perfiles
3. Dos votan por el mismo y el tercero vota por otro candidato: $18 (3\times3\times3-3-6)$ estos perfiles

Tipo 1:

Dado que ninguna desviación de un solo jugador puede cambiar el resultado y, por tanto, los pagos, cada uno de ellos es NE.

Tipo 2 Si cada jugador vota de forma diferente, entonces el pago, asumiendo una selección aleatoria en caso de empate, para cada votante es de 1. Ahora piensa en cualquier jugador $i$ si alguno de los otros jugadores vota por $i's$ candidato favorito entonces $i$ tendrá incentivos para desviarse. Así que la única NE aquí puede ser que cada jugador juegue sólo con su candidato favorito. Por lo tanto, $(A,B,C)$

Tipo 3 Supongamos que $i,j$ votan por el mismo y $k$ por diferentes. $k$ no tiene ningún incentivo para cambiar. Si $k$ es votar por un candidato que es $i's$ o $j's$ favorito entonces el votante respectivo $i$ o $j$ tendrá incentivos para desviarse. Así que todas las votaciones en las que dos jugadores juegan de favorito y uno de segundo favorito son todas NE. Así que: $(A,B,A); (B,B,C); (A,C,C)$