Tipo de interés efectivo de dos préstamos

Question

Supongamos que tengo dos préstamos y quiero calcular el tipo de interés "efectivo". Para facilitar las cosas, supongamos que tienen el mismo capital y los mismos plazos (30 años), sólo dos tipos de interés diferentes.

He modelado esto en Excel simplemente igualando el pago total y he encontrado (algo sorprendente) que el resultado no es igual a la media de los tipos de interés.

Ejemplo:

Loan 1: 100k @ 1%, monthly: $321
Loan 2: 100k @ 5%, monthly: $537
Combination: 200k  monthly: $858 -> rate is 3.14%

Obtengo resultados diferentes para las divisiones 0%/6%, 1%/5%, 2%/4% 3%/3%. ¿Cómo puedo calcular los tipos de interés "efectivos" a partir de los dos tipos originales? ¿Qué matemáticas hay detrás de eso?

Answer 1

Para las dos tasas r1 & r2 Cálculo de los reembolsos d1 & d2 El efectivo mensualmente La tasa es r calculado a continuación.

s = 100000
n = 30*12 = 360

r1 = 0.01/12 = 0.0008333
d1 = (r1 (1 + r1)^n s)/((1 + r1)^n - 1) =  321.64

r2 = 0.05/12 = 0.0041666
d2 = (r2 (1 + r2)^n s)/(-1 + (1 + r2)^n) = 536.82

2 s = ((d1 + d2) (1 + r)^-n ((1 + r)^n - 1))/r
 r = 0.00261726

(r1 + r2)/2 = 0.0025

Las tasas anuales efectivas son

a1 = (1 + 0.01/12)^12 - 1 = 0.010046
a2 = (1 + 0.05/12)^12 - 1 = 0.0511619
  (1 + 0.00261726)^12 - 1 = 0.0318631

(a1 + a2)/2 = 0.0306039

El índice combinado está por encima de la media.

Simplificando el problema a tipos efectivos anuales del 3% y del 7% con pago anual, el tipo combinado es igual al 5% medio si el plazo es de 1 año. A partir de entonces, el tipo combinado es superior a la media, como se muestra a continuación.

Simplificar las ecuaciones.

2 s = ((d1 + d2) (1 + r)^-n ((1 + r)^n - 1))/r

(d1 + d2) = (r1 + r1/(-1 + (1 + r1)^n) +
             r2 + r2/(-1 + (1 + r2)^n)) s

 2 = (r1 + r1/((1 + r1)^n - 1) +
        r2 + r2/((1 + r2)^n - 1)) * ((1 + r)^n - 1)/(r (1 + r)^n)

=r1+%5Cfrac%7Br1%7D%7B%5Cleft(1+r1%5Cright)%5E%7Bn%7D-1%7D+r2+%5Cfrac%7Br2%7D%7B%5Cleft%20(1+r2%20%5Cright)%5E%7Bn%7D-1%7D%20)

Esta es la relación básica entre los tipos de interés. Cuando n = 1 r es la media de r1 & r2 . Cuando n > 1 r está por encima de la media.