¿Requiere el teorema de representación de Debreu de la utilidad ordinal la topología de Hausdorff?

Question

Por el teorema de Debreu de la utilidad ordinal, cualquier orden débil continuo sobre $X$ se representa con una función de utilidad continua, si $X$ es un segundo espacio topológico separable contable o conectado.

Mi pregunta es si el teorema requiere $X$ para estar dotado de topología T0 o T1 o T2 (Hausdorff)?

Answer 1

No. Sin embargo, el problema puede reducirse a representar preferencias en un espacio de Hausdorff. En lugar de intentar representar un preorden completo en un conjunto, se puede intentar representar órdenes lineales en el espacio de las clases de indiferencia. En este último espacio, la hausdorfidad es automática si la relación de preferencia es continua. Para ver esto, dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\succeq$ ser un preorden completo en $X$ tal que para cada $x\in X$ los conjuntos $\{y\in X\mid y\succeq x\}$ y $\{y\in X\mid x\succeq y\}$ están cerradas. Definir $\succ$ , $\sim$ de la forma habitual y dotar $X/\sim$ avec le topología del cociente . Entonces $X/\sim$ es un espacio de Hausdorff. Escribe $[x]$ para la clase de equivalencia correspondiente a $x$ y ver $\succeq$ por abuso de notación como un orden lineal en $X/\sim$ . Ahora, dejemos que $[x]\neq [y]$ . Sin pérdida de generalidad, dejemos que $x\prec y$ .

Hay dos casos: O bien existe $z\in X$ tal que $x\prec z\prec y$ o no existe. Si existe tal $z$ , entonces los conjuntos $\{v\mid v\prec z\}$ y $\{v\mid v\succ z\}$ son barrios abiertos de $x$ y $y$ respectivamente. Por la definición de la topología del cociente, los conjuntos $\{[v]\mid v\prec z\}$ y $\{[v]\mid v\succ z\}$ son barrios abiertos de $[x]$ y $[y]$ respectivamente. Si no existe tal $z$ , entonces los conjuntos $\{v\mid v\prec y\}$ y $\{v\mid v\succ x\}$ son barrios abiertos de $x$ y $y$ respectivamente. De nuevo por la definición de la topología del cociente, los conjuntos $\{[v]\mid v\prec y\}$ y $\{[v]\mid v\succ x\}$ son barrios abiertos de $[x]$ y $[y]$ respectivamente.

De ello se desprende que $X/\sim$ es un espacio de Hausdorff y el problema puede reducirse a representar un ordenamiento de preferencias en un espacio de Hausdorff.