El beneficio de un diferencial de mariposa bajo la medida de neutralidad de riesgo siempre es positivo para cualquier t<T

Question

En una situación en la que $$K_3-K_2=K_2-K_1=h>0$$ and $$K_1\le S_t\le K_3$$ where $$S_T=S_t.e^{[(r-\sigma^2/2)(T-t)+\sigma(W_T-W_t)]}$$ (es decir, el proceso de stock sigue el GBM bajo la medida de neutralidad de riesgo).

Sé que el valor de la llamada bajo la medida de riesgo neutral es: $$f(S_t)= e^{-r(T-t)}*E((S_T-K_1)^+-2(S_T-K_2)^++(S_T-K_3)^+|\mathcal{F_t})$$ ¿Cómo sabemos que el valor de la rentabilidad del diferencial de mariposa utilizando llamadas es positivo para cualquier t<T.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{align*} K_2 = \frac{K_1+K_3}{2}. \end{align*}$$ Luego $$\begin{align*} &\ \max(S_T-K_1, \, 0) + \max(S_T-K_3, \, 0) \\ =&\ \max\big(S_T-K_1 + \max(S_T-K_3, \, 0), \, \max(S_T-K_3, \, 0)\big)\\ =&\ \max\big(\max(S_T-K_3 + S_T-K_1, \, S_T-K_1), \, \max(S_T-K_3, \, 0)\big)\\ =&\ \max\big(2S_T-(K_1+K_3), S_T-K_1, S_T-K_3, 0\big)\\ \ge&\ \max\big(2S_T-(K_1+K_3), 0\big)\\ =&\ 2\max(S_T-K_2, \, 0). \end{align*}$$