Consumo óptimo en el modelo de consumo neoclásico

Question

En una economía, los individuos viven durante dos períodos (períodos 1 y 2). Un individuo trabaja en el primer período y obtiene una renta de $wL$ con $L$ que representa la proporción de la jornada trabajada. En el segundo periodo, que puede considerarse como la jubilación, el individuo consume el resto de sus ahorros. La utilidad vitalicia viene dada por:

$U=log(c_1)+log(c_2)+log(1-L)$

La cuestión es resolver el consumo óptimo en cada período, y el esfuerzo de trabajo óptimo.

Empecé escribiendo las limitaciones presupuestarias de cada periodo:

Periodo 1
$c_1+s=wL$ con $s$ ser ahorros

Periodo 2
$c_2=s(1+r)$ con $r$ siendo el tipo de interés

Restricción presupuestaria intertemporal
$c_1+\frac{c_2}{(1+r)}=wL$

Para maximizar la utilidad del consumo, normalmente sólo optimizaría para $c_1$ y $c_2$ sujeto a la restricción presupuestaria intertemporal. Sin embargo, no sé qué hacer con el $log(1-L)$ en la función de utilidad vitalicia original. Se agradecerá cualquier indicación, y perdón por el carácter elemental de esta pregunta.

Answer 1

El problema que queremos resolver es:

\begin{eqnarray*} \displaystyle\max_{c_1, c_2, R} & \log c_1 + \log c_2 + \log R \\ \text{s.t.} & \ c_1 + \dfrac{c_2}{1+r} + wR = w \\ \text{and } & c_1 \geq 0, c_2\geq 0, 0 \leq R \leq 1 \end{eqnarray*}

Aquí $R$ es el ocio y es igual a $1-L$ .

Se trata de un problema estándar de maximización de la utilidad Cobb-Douglas con restricción lineal, y la solución del problema es:

\begin{eqnarray*}(c_1^d, c_2^d, R^d) = \left(\frac{w}{3},\frac{(1+r)w}{3}, \frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}

En consecuencia, la oferta de trabajo es \begin{eqnarray*}L^s = 1-R^d = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}

Answer 2

Hay que optimizar con respecto a $L$ , $c_1$ y $c_2$ sujeto a la restricción presupuestaria intertemporal. De este modo se obtendrán las opciones óptimas de consumo y trabajo. Se debería terminar con

1. una ecuación de Euler que rige la elección óptima de consumo intertemporal, que establece que la utilidad marginal derivada de consumir en los dos períodos debe ser igual (después de descontar)
2. una TDC laboral que establece que la tasa marginal de sustitución entre el consumo y el ocio es igual al salario real