He planteado un problema de optmización de la siguiente manera:
$$V(A)=\max_{l, C} \quad u(C,l)$$
Donde la única restricción es la siguiente:
$$C=f(l,A)$$
Aquí $u$ es la función de utilidad que capta el bienestar social. $f$ es la función de producción que produce el consumo $C$ .
$l$ representa el trabajo y, por tanto, la función de utilidad $u$ está disminuyendo en el $l$ de entrada, mientras que la función de producción $f$ está aumentando en $l$ . Claramente, $u$ está aumentando en términos de consumo $C$ . Finalmente, $A$ es una variable de estado, que es un insumo negativo para la función de producción, es decir, más $A$ equivale a menos producción.
Aquí asumo que la función de utilidad captura las propiedades habituales de concavidad/convexidad, capturando el beneficio marginal decreciente de las cosas buenas y el coste marginal creciente de las cosas malas. También asumo que $f$ es una función continua.
Ahora mi pregunta es: ¿podemos concluir que esta función de valor es convexa en términos de $A$ ?
Mi enfoque al respecto ha sido utilizar el siguiente teorema:
Supongamos que $V$ es la envolvente superior de las funciones convexas, es decir $V (a) = \max_{b} v(a, b)$ donde $v(·, b)$ es una función convexa para cada $b$ entonces $V$ es convexo.
Sin embargo, no estoy del todo seguro de cómo aplicarlo aquí, ¿alguna idea?
