Análisis de variables instrumentales para variables endógenas no lineales

Question

Tengo un modelo de la forma $$y_i = ax_{1i} + bx_{1i}^2 + cx_{3i} + \varepsilon_i$$ Donde $x_1$ es una variable endógena. ¿Necesitaría instrumentos para ambas $x_1$ y $x_1^2$ o sólo tengo que aplicar la primera etapa de 2SLS para $x_1$ ?

Gracias, Nitin

Answer 1

Si $Cov(x_1, \varepsilon_i)\ne 0$ probablemente sea el caso de que $Cov(x_1^2, \varepsilon)\ne 0$ y se necesitaría un instrumento para $x_1^2$ .

Si $z$ es su instrumento para $x_1$ Entonces, como dijo Oda, es natural que $z^2$ ser el instrumento para $x_1^2$ .

Si tiene un término de interacción, $x_1\cdot w$ para lo cual $Cov(w,\varepsilon)= 0$ Entonces, porque $Cov(x_1, \varepsilon)\ne 0$ es probable que $Cov(x_1\cdot w,\varepsilon)\ne 0$ y necesitarías un instrumento. La elección natural de un instrumento es $z\cdot w$ .

Tenga en cuenta que $Cov(z,\varepsilon)=0$ y $Cov(w,\varepsilon)= 0$ hace no implican que $Cov(z\cdot w,\varepsilon)=0$ . Por lo tanto, la validez del instrumento requeriría un supuesto aparte.