Conciliación de dos afirmaciones sobre la volatilidad bajo colas gordas

Question

He leído el Artículo de Wikipedia sobre la volatilidad y el libro de Nassim N. Taleb Incerto y encontré dos afirmaciones atribuidas a las opiniones de Mandelbrot, que parecen estar en contradicción.

1. Taleb (que tuvo como mentor a Mandelbrot) escribe que las desviaciones estándar de los rendimientos de numerosos instrumentos son infinitas. También menciona que las distribuciones alfa-estable de Lévy son mejores descriptores de los rendimientos, y su varianza es infinita cuando el parámetro de estabilidad $\alpha<2$ .
2. En la página de Wikipedia, dice

Algunos utilizan el exponente de estabilidad de Lévy $$ para extrapolar los procesos naturales: $$\sigma_T = T^{1/\alpha} \sigma. $$ Si $ = 2$ se obtiene la relación de escala del proceso de Wiener, pero algunos creen $ < 2$ para actividades financieras como acciones, índices, etc. Esto fue descubierto por Benoît Mandelbrot, que observó los precios del algodón y descubrió que seguían una distribución alfa-estable de Lévy con $ = 1.7$ . (Véase New Scientist, 19 de abril de 1997).

Mi pregunta es: En el punto 2, si $\alpha<2$ ¿no significa eso que $\sigma$ no existe (a la luz del punto 1)? ¿Cómo han llegado a un exponente de escala diferente?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

No creo que la afirmación de que "las distribuciones estables de Lévy alfa son mejores descriptores de los rendimientos" sea universalmente aceptada.

Aunque Mandelbrot (y otros antes que él) ha identificado correctamente la no normalidad de los rendimientos en las series temporales financieras, no estaba realmente equipado en ese momento (1963) para perseguir su verdadera naturaleza. Los modelos apropiados sólo aparecieron mucho más tarde, con el ARCH/GARCH (1982) y luego la volatilidad estocástica.

Empíricamente, los rendimientos sí parecen tener un primer y un segundo momento, y posiblemente más. Por ejemplo, R. Cont en su revisión "Propiedades empíricas de los rendimientos de los activos" dice sobre las colas pesadas:

la distribución (incondicional) de los rendimientos parece mostrar una cola tipo ley de potencia o Pareto, con un índice de cola que es finito, superior a dos e inferior a cinco para la mayoría de los conjuntos de datos estudiados. En particular, esto excluye las leyes estables con varianza infinita y la distribución normal. Sin embargo, la forma precisa de las colas es difícil de determinar.

Además, cabe destacar que mientras los rendimientos incondicionales no son normales, los rendimientos escalados por la volatilidad son mucho más cercanos a N(0,1), lo que no debería ocurrir con distribuciones estables. Véase, por ejemplo. "La distribución de la volatilidad del rendimiento de las acciones" por Andersen, Bollerslev, Diebold, Ebens (también hay un documento "Los rendimientos de los tipos de cambio estandarizados por la volatilidad realizada son (casi) gaussianos" por un conjunto similar de autores):

los rendimientos diarios del DJIA ... tienen colas más gruesas de lo normal y, para la mayoría de los valores, también están sesgados a la derecha. Sin embargo, es sorprendente que todas las treinta series de rendimientos estandarizados tengan una distribución aproximadamente normal e incondicional. En particular, el valor medio de la curtosis de la muestra se reduce de 5,416 para los rendimientos brutos a sólo 3,129 para los rendimientos estandarizados.

Existe un enorme cuerpo de investigación sobre la distribución de los rendimientos, de los cuales sólo he citado dos, pero creo que poca gente se centra en las distribuciones estables hoy en día. Quizás el campo ha pasado de la modelización de los rendimientos a la modelización de la volatilidad y las correlaciones/cópulas.