Curva de rendimiento: tipos de mercado directos frente a la interpolación de los factores de descuento

Question

Según tengo entendido, existen (de forma más general) dos enfoques para el bootstrapping de la curva de rendimiento (con un método exacto). Podemos interpolar entre las comillas del mercado (depósitos interbancarios, futuros, FRAs, swaps, etc.) y luego inferir los factores de descuento, esto no requeriría una técnica de minimización por lo que entiendo. Alternativamente, podríamos interpolar los factores de descuento de manera que coincidan con las comillas del mercado (lo que requeriría interpolación y minimización simultáneamente). Por favor, corríjanme si me equivoco (conceptualmente).

Es bien sabido que el uso de la interpolación lineal con ambas vías daría lugar a una curva de aspecto irregular hacia adelante. Sin embargo, un texto que leí hace poco (no puedo enlazarlo), afirma que cuando la interpolación se realiza sobre el factor de descuento en lugar de las comillas directas del mercado, todo lo demás igual (por lo tanto, el mismo método de interpolación), la curva a plazo implícita sería más suave en el caso de los factores de descuento (como variable interpoladora). ¿Cuál es la razón particular de esto?

Answer 1

Si interpolamos entre las dos libors $L_1$ y $L_2$ (tipos al contado) con vencimientos $T_1$ y $T_2$ el factor de descuento en $T\in(T_1,T_2)$ es $$ P(T)=\frac{1}{1+TL(T)}=\frac{1}{1+T\frac{(T_2-T)L_1+(T-T_1)L_2}{T_2-T_1}}\,. $$ El tipo de interés a plazo para $[T,T_2]$ entonces se convierte en \begin{align}\tag{1} F(T,T_2)&=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{P(T)}{P(T_2)}-1\Bigg)=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{1+T_2L_2}{1+T\frac{(T_2-T)L_1+(T-T_1)L_2}{T_2-T_1}}-1\Bigg)\\ &=\frac{1}{T_2-T}\frac{T_2(T_2-T_1)L_2-T(T_2-T)L_1-T(T-T_1)L_2}{T_2-T_1+T(T_2-T)L_1+T(T-T_1)L_2}\,. \end{align} Si, en cambio, interpolamos entre los factores de descuento, entonces \begin{align}\tag{2} F(T,T_2)&=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{(T_2-T)P(T_1)+(T-T_1)P(T_2)}{(T_2-T_1)P(T_2)}-1\Bigg)\\ &=\frac{1}{T_2-T}\Bigg(\frac{1+T_2L_2}{T_2-T_1}\Bigg(\frac{T_2-T}{1+T_1L_1}+\frac{T-T_1}{1+T_2L_2}\Bigg)-1\Bigg)\,. \end{align} Dado que (1) contiene $T^2$ términos y (2) no lo hace podemos esperar que el $T$ -La derivada de (1) es mayor que la de (2).