Supuestos
Tal y como se ha comentado, se harán algunas suposiciones. Usted mencionó una acción ilíquida en su pregunta. Voy a llegar a eso, pero primero vamos a suponer que el precio de las acciones $S_u$ satisface la siguiente SDE bajo la medida de fijación de precios (neutral al riesgo): $$ dS_u = \left[r(u)-q(u)\right]S_u \,du + \sigma_u S_u \left[\rho \,dW_u + \sqrt{1-\rho^2} \,dZ_u\right] $$ Aquí $r(u)$ et $q(u)$ son funciones deterministas del tiempo, y $W_u$ et $Z_u$ son movimientos brownianos independientes estándar.
La volatilidad instantánea $\sigma_u$ se supone que está correlacionada con el precio de las acciones y que satisface la SDE $$ d\sigma_u = a(\sigma_u,u)\,du + b(\sigma_u,u)\, dW_u, $$ donde $a(\sigma_u,u)$ et $b(\sigma_u,u)$ funciones deterministas de $\sigma_u$ et $u$ solamente (no dependen de $S_u$ ). En realidad no necesitaremos especificar más estas funciones $a$ et $b$ . La volatilidad instantánea también puede ser impulsada por el ruido fraccionario (por ejemplo, el modelo de volatilidad aproximada) sin afectar a los resultados siguientes. Pero por ahora basta con dejar que $\sigma_u$ para ser impulsado por $W_u$ según el SDE anterior.
Para $t\in [0,T]$ el precio del swap de volatilidad se define como $$ v_t := e^{-r(T-t)} E_t \left( \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u du \right)^{1/2}, $$ y el precio del swap de varianza viene dado por $$ V_t := e^{-r(T-t)} E_t \left( \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u du \right). $$ Dado que ambos $v_t$ et $V_t$ son las expectativas descontadas de un siniestro a $T$ , sus dos derivas neutrales al riesgo son iguales $r$ . Ahora voy a suponer que el precio del swap de volatilidad es logarítmico, y que está impulsado por el mismo movimiento browniano estándar que impulsa $\sigma_u$ . La SDE para $v_u$ es entonces $$ dv_u = r(u) v_u \,du + \alpha(u) v_u \, dW_u, $$ con $\alpha(u)$ que la volatilidad del precio del volswap, una función determinista del tiempo $u$ y potencialmente de tiempo de maduración $T$ . No necesito especificar la dinámica para $V_u$ como se aclarará en breve.
Ahora que se han expuesto los principales supuestos, voy a establecer $r=q=0$ para simplificar la notación. No debería ser demasiado difícil para usted modificar ligeramente los resultados que se presentan a continuación para una tasa de descuento y una rentabilidad de los dividendos distintas de cero.
Opciones sobre la volatilidad realizada
En primer lugar, obsérvese que la volatilidad realizada sobre $[0,T]$ es simplemente el precio final del swap de volatilidad: $$ v_T = \left( \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u du \right)^{1/2}. $$ Por lo tanto, una opción sobre la volatilidad realizada es, de forma equivalente, una opción sobre el precio final del volswap. El precio de una opción sobre la volatilidad realizada con strike $K$ Dado el precio del swap de volatilidad de hoy $v_0$ Por lo tanto, es $$ F(v_0,K,T) = E_0 \left[ \left (v_T - K \right)_+ \right]. $$
La solución de la SDE para el volswap es $$ v_T = v_0 e^{ -\frac12 \bar\alpha^2 T + \bar\alpha W_T}, $$ donde $$ \bar\alpha^2 := \frac1T \int_0^T \alpha(u) \,du. $$ Queda por encontrar $v_0$ et $\bar\alpha$ . Una vez conocidos, el precio de la opción sobre la volatilidad realizada viene dado por la fórmula de compra de Black-Scholes con precio al contado $v_0$ y la volatilidad $\bar\alpha$ .
Retroceder $v_0$ et $\bar\alpha$ de las opciones sobre acciones vainilla
Lo más difícil es encontrar $v_0$ de los precios de las opciones sobre acciones de vainilla. Sin embargo, es posible encontrar $v_0$ de una manera relativamente libre de modelos (es decir, utilizando únicamente opciones sobre acciones vainilla). Una forma es utilizar Carr y Lee's estrategia de inmunización de correlación. Para ello se necesitaría una franja continua de opciones sobre acciones, lo que supone un reto si las acciones no tienen liquidez. Otra forma es utilizar la "aproximación de vanna cero" explicada aquí . Para este enfoque sólo se necesita una volatilidad implícita concreta que suele ser cercana (pero no igual) a la volatilidad implícita del cajero automático de las acciones. Aunque la diferencia en la precisión de la aproximación entre Carr y Lee y la vanna cero no se ha estudiado sistemáticamente, los experimentos numéricos que he realizado hasta ahora indican que las diferencias son realmente muy pequeñas.
El siguiente paso es encontrar $\bar\alpha$ . Debido a la lognormal supuesto para el precio de volswap, $$ E_0 [V_T] = E_0[v_T^2] = v_0^2 e^{\bar\alpha^2 T}. $$ Desde $E_0 [V_T]$ es sólo la huelga de intercambio de varianza $V_0$ , $$ \bar\alpha^2 T = \log (V_0/v_0^2). $$ Así que si tienes $V_0$ entonces, como también tienes una aproximación para $v_0$ se tiene una aproximación para $\bar\alpha$ .
Para las acciones líquidas, $V_0$ se puede respaldar utilizando, por ejemplo, la fórmula de Matytsin, que utiliza una franja continua de volatilidades implícitas en las opciones sobre acciones con strikes que van desde $0$ a $\infty$ . Sin embargo, en el caso de las opciones sin liquidez, podría utilizar el método descrito aquí que puede aproximarse al precio del volswap $v_0$ y el precio de varswap $V_0$ simultáneamente utilizando una simple inversión de la matriz y sólo 3 opciones de compra de acciones cercanas al dinero.
No voy a explicar los documentos a los que he hecho referencia, de lo contrario esta respuesta se convertirá en un documento. Sin embargo, siéntase libre de hacer más preguntas y otras relacionadas.
Espero que esto ayude.
Última observación: Tanto Carr y Lee como el enfoque IV de vanna cero para aproximar el precio del volswap tienden a subestimar ligeramente el precio del volswap en relación con su precio modelo exacto (el error de aproximación depende del modelo "exacto"). La ventaja de esto es que el vol de vol está ligeramente sobreestimado, lo que si eres un banco que vende volopciones es lo que quieres, y si eres un cliente que compra una volopción sabes dónde debería estar el precio de compra del bak.
