Preferencia convexa en el equilibrio de Nash

Question

Arrow Debreu (AD) utiliza la preferencia convexa (A4 entre sus cuatro supuestos, véase también el supuesto IIIc en AD 1954 ECTA) para hacer que el equilibrio general (GE) exista, sea único y se comporte bien.

Lo que sigue sin estar claro (para mí) es la papel de la preferencia convexa en el equilibrio de Nash ¿Cómo es el papel de la preferencia convexa en la NE, similar o diferente del papel en la GE?

Pensé que la convexidad también es importante en el Equilibrio de Nash porque una función de utilidad no cóncava podría dar dos óptimos locales en la función de mejor respuesta.

Sin embargo, Creo que la convexidad de Nash es muy diferente de la convexidad de AD:

Convexidad AD: $x\succ y$ implica $ax+(1-a)y\succ y$ . La suma "+" aquí puede ser una suma normal entre números reales (o vectores). Por ejemplo, dos dólares más un dólar son tres dólares; tres manzanas más una manzana son cuatro manzanas.

Convexidad de Nash: $p\succ q$ implica $ap\oplus(1-a)q\succ q$ . Aquí el $\oplus$ es la operación de mezcla de probabilidades, ¡no la típica suma de vectores reales, ya que la probabilidad está involucrada! Por ejemplo, $0.5\times\text{Four Apples}+0.5\times \text{Two Apples}$ no es igual a tres manzanas.

Entonces, ¿es importante la preferencia convexa en el equilibrio de Nash, al igual que la importancia en el equilibrio general, y es correcta mi comprensión del equilibrio de Nash?

Cualquier referencia/explicación que mencione el importante papel de la preferencia convexa en la NE será de gran ayuda.

Answer 1

La convexidad (cuasi-concavidad) de las preferencias es importante tanto para la ecuación de Nash como para la salida del equilibrio general. Sin este supuesto, las correspondencias de mejor respuesta no son necesariamente de valor convexo y esto es necesario para aplicar el teorema del punto fijo de Kakutani wiki .

Para el equilibrio general, las preferencias son sobre paquetes $q \in \mathbb{R}^n_+$ . Por lo tanto, la convexidad de las preferencias requiere que para todo $\alpha \in [0,1]$ : $$ q_1 \succeq q_2 \to \alpha q_1 + (1-\alpha) q_2 \succeq q_2 $$ Para el equilibrio de Nash (en estrategias mixtas) las preferencias son sobre loterías $\ell$ (vectores no negativos cuyas componentes suman uno). Aquí la convexidad requiere que para todo $\alpha \in [0,1]$ : $$ \ell_1 \succeq \ell_2 \to \alpha \ell_1 + (1-\alpha) \ell_2 \succeq \ell_2. $$

Convexidad de Nash: $p\succ q$ implica $ap \oplus (1a)q \succ q$ . Aquí el $\oplus$ es la operación de mezcla de probabilidades, no una suma típica de vectores reales, ¡ya que la probabilidad está involucrada! Por ejemplo, $0.5 \times$ Cuatro manzanas $+ 0.5 \times$ Dos manzanas no equivalen a tres manzanas.

Aquí $p$ y $q$ deberían ser loterías, no paquetes. Así que $\oplus$ es, efectivamente, la habitual suma de vectores.