Ayuda con la derivación simple de la probabilidad de impago del crédito

Question

Estoy repasando un capítulo de Opciones, Futuros y Otros Derivados de Hull y estoy atascado en cómo se deriva la probabilidad de impago. Aquí está la imagen de la derivación.

Puedo seguirlo todo excepto un paso: ¿cómo se deriva $V(t) = e^{-\int_0^t \lambda(\tau) \,d\tau}$ de $\frac{dV(t)}{dt} = -\lambda (t)V(t) $ ?

No soy un cuentista así que no sé muy bien cómo proceder. Puedo simplemente introducir la fórmula en mi proyecto, pero preferiría entender cómo/por qué funciona la derivación.

Answer 1

Lo primero y más importante es suponer que la empresa no puede incumplir en el momento $t=0$ , lo que implica que $V(0)=1$ .

Ahora, divide con $V(t)$ en ambos lados e integrar de 0 a $t$ :

$$ \int_0^t \frac{\frac{dV(t)}{dt}}{V(t)} dt = - \int_0^t \lambda(t) dt $$ Calcula el LHS: \begin{align} \ln(V(t)) - \ln(V(0)) &= - \int_0^t \lambda(t) dt\\ &\Updownarrow\\ \ln(V(t)) &= - \int_0^t \lambda(t) dt\\ &\Updownarrow\\ V(t) &= e^{ - \int_0^t \lambda(t) dt}, \end{align} donde se puede sustituir $t$ con $\tau$ en el integrando del lado derecho (la función de la tasa de riesgo) para evitar la confusión notacional. Esto le dará el resultado deseado.