Si se quiere determinar la cantidad de dióxido de carbono que se debe omitir mediante la resolución de un problema de optimización, entonces se debe establecer una restricción sobre la cantidad de $CO_2$ no es lo que necesitas. La restricción normal en un modelo de optimización para toda una economía es la función de producción, por lo que una forma de incluir $CO_2$ sería hacerla una variable dentro de la función de producción. Para ilustrar esto, hago los supuestos simplificadores de que el consumo en cada período es igual a la producción, el capital $K$ es constante, el trabajo es igual a la población, y que $CO_2$ tienen lugar al principio de cada periodo. Por lo tanto, escribo la restricción del primer período como
$$C_0\leq f(K,L_0,aC_0)$$
donde $a$ es $CO_2$ por unidad de producción/consumo, y $f$ está aumentando en $K$ y $L$ y disminuyendo en $aC_0$ El último punto refleja un supuesto efecto adverso de $CO_2$ en la producción agrícola. Para permitir la acumulación de $CO_2$ en la atmósfera, escribo la segunda restricción de periodo como
$$C_1\leq f(K,L_1,a(C_0+C_1))$$
Al resolver el problema de optimización con estas restricciones y obtener los valores de $C_0$ y $C_1$ El $CO_2$ en cada periodo se puede calcular como $aC_0$ y $aC_1$ .
Un enfoque alternativo, centrado en los efectos directos del calentamiento debido a $CO_2$ sobre la salud y el bienestar humanos, sería reflejarlas en la función de utilidad. Así, el problema podría formularse como
$$\max_{C_0,C_1}\beta^0L_0u\left(\frac{C_0}{L_0},aC_0\right)+\beta^1L_1u\left(\frac{C_1}{L_1},a(C_0+C_1)\right)$$
donde $u$ está disminuyendo en el $CO_2$ términos. Esto podría estar sujeto a una simple restricción de producción:
$$C_i\leq f(K,L_i)$$
Estas alternativas podrían combinarse, incluyendo $CO_2$ tanto en la función objetivo como en la restricción, aunque cuanto más complicado sea el problema más probable será que su solución sea intratable.
