Equilibrio competitivo para una economía con un consumidor y un productor

Question

La preferencia de un agente representativo sobre el consumo $(c)$ y la oferta de trabajo $(l)$ viene dada por la función de utilidad $$ u(c_D, l_S)= c_D^a .(24-l_S)^{1-a}$$ Producción del bien de consumo $c$ viene dada por la función de producción $c = Al$ , donde $A > 0$ es la productividad del trabajo. Tanto el mercado de materias primas como el mercado de trabajo son perfectamente competitivos: los compradores y vendedores toman el precio como algo dado al tomar las decisiones de oferta y demanda. Denotemos la tarifa salarial por hora por $w > 0$ y el precio del bien de consumo por $p > 0$ La pregunta se refiere al equilibrio competitivo, por lo que he encontrado la maximización de la utilidad $c_D =\frac {24aw}{p} ,_\ l_S= 24a$

Sólo estoy confundido acerca de la maximización de los beneficios $l_D,c_S$ . Está saliendo como $A= _\frac{w}{p}$ y al resolverlo más a fondo está saliendo como $c_S = _\frac {w}{p} l_D$ lo que me parece un error.

¿Puede alguien decirme qué estoy haciendo mal? Gracias.

Answer 1

Este es el problema de maximización de la utilidad del consumidor: \begin{eqnarray*}\max_{c_D, l_S} & \ c_D^a(24-l_S)^{1-a} \\ \text{s.t.} & \ pc_D = wl_S \\ \text{and} & \ c_D\geq 0 , 0\leq l_S\leq 24\end{eqnarray*} Resolviendo este problema, obtenemos $c_D = \dfrac{24aw}{p}$ y $l_S = 24a$ .

Ahora podemos resolver el problema de maximización de beneficios de la empresa: \begin{eqnarray*}\max_{c_S, l_D} & \ pc_S - wl_D \\ \text{s.t.} & \ c_S = Al_D \\ \text{and} & \ c_S\geq 0 , l_D\geq 0\end{eqnarray*}

Resolviendo este problema, obtenemos \begin{eqnarray*} c_S \in \begin{cases} \emptyset & \text{if } p > \dfrac{w}{A} \\ \mathbb{R}_+ & \text{if } p = \dfrac{w}{A} \\ \{0\} & \text{if } p < \dfrac{w}{A}\end{cases} \end{eqnarray*} y el correspondiente $l_D = \dfrac{c_S}{A}$ .

Para encontrar el equilibrio competitivo, podemos tomar uno de los mercados, digamos el mercado de $c$ , y proceder a la resolución de $c_S = c_D$ y obtendremos la relación de precios de equilibrio competitivo como $p =\dfrac{w}{A}$ , o de forma equivalente, $\dfrac{w}{p} = A$ . Valor correspondiente de $c$ consumido en equilibrio es $24Aa$ y la mano de obra empleada es igual a $24a$ .