Agregador CES convexo

Question

Me parece que un agregador de CES, por ejemplo. $\left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}$ con $\sigma<0$ se denomina agregador general convexo y su límite como $\sigma \uparrow 0$ es $\max \left\{N_{1}, \ldots, N_{J}\right\}$ que es exactamente la inversa del resultado de que la función de Leontief es un caso especial del agregador CES cuando $\sigma \downarrow 0$ .

¿Hay alguna manera fácil de demostrarlo y, sobre todo, cuál es la intuición que hay detrás de estos dos distinguidos resultados?

Answer 1

Dejemos que $N=\max\{N_1,\ldots, N_J\}$ y $\sigma<0$ .

$$N=\left[N^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\leq\left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\leq \left[J N^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}=J^{\sigma /(\sigma-1)} N.$$ Desde $\lim_{\sigma\uparrow 0} J^{\sigma /(\sigma-1)}=1,$ el resultado es el siguiente. El argumento se adopta de ici .

Del mismo modo, dejemos que $N'=\min\{N_1,\ldots, N_J\}$ , $K>0$ sea tal que $KN'>N_j$ para todos $j$ y $0<\sigma<1$ .

$$N'=\left[N'^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\geq\left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\geq \left[KJ N'^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}=[KJ]^{\sigma /(\sigma-1)} N'.$$

Desde $\lim_{\sigma\downarrow 0} [KJ]^{\sigma /(\sigma-1)}=1,$ el resultado es el siguiente.

La diferencia entre los dos resultados no debería sorprender demasiado, ya que se trabaja con exponentes positivos y negativos, respectivamente, y son claramente diametralmente opuestos.