Supongamos que $(X_t)_{t\geq 0}$ sigue una SDE de la forma $$dX_t = a(t, X_t) dt + b(t, X_t) dW_t$$ donde $W$ es un estándar $n$ -de movimiento browniano, $a$ y $b$ son mapeos de $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}^n$ para, respectivamente $\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}_{\mathbb{R}}(n,n)$ con todas las condiciones de regularidad habituales, y $X_0=x_0$ para algún determinista $x_0\in\mathbb{R}^n$ .
Ahora dejemos que $f$ sea un mapeo desde $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ . Supongamos que estamos interesados en la sensibilidad de $\mathbb{E}[f(X_t)]$ con respecto al tiempo ( $f$ podría verse como una función de pago europea y $X_t$ el valor del vector de factores de riesgo al vencimiento $t$ ), es decir, queremos calcular $\partial_t \mathbb{E}[f(X_t)]$ .
Si procedemos mediante Monte-Carlo y un esquema discretizado en el tiempo para nuestra SDE (por ejemplo un Euler-Maruyama), ¿cómo se estimaría la derivada con respecto al tiempo de forma numéricamente estable?
Supongamos que $(\hat{X}_i)_{i\geq 0}$ es una aproximación discretizada en el tiempo de $X$ en pasos de tiempo discretos $0=t_0 < \dots < t_i = i h < \dots$ donde $h>0$ es un tamaño de paso constante. Entonces veo las siguientes formas de aproximar nuestra diferencial (suponiendo $f$ es diferenciable):
- estimación $\frac{1}{h}\mathbb{E}[f(\hat{X}_{\lfloor\frac{t}{h}\rfloor})-f(\hat{X}_{\lfloor\frac{t}{h}\rfloor-1})]$ ( es decir, considerar toda la función de fijación de precios como una caja negra);
- o estimación $\frac{1}{h}\mathbb{E}[(\hat{X}_{\lfloor\frac{t}{h}\rfloor}-\hat{X}_{\lfloor\frac{t}{h}\rfloor-1})^{\top} \nabla f(\hat{X}_{\lfloor\frac{t}{h}\rfloor})]$ (una especie de regla de la cadena del camino).
Desgraciadamente, en ambos casos las aproximaciones de Monte-Carlo resultantes tienen una varianza extremadamente alta (utilizo técnicas de reducción de la varianza como los números aleatorios comunes y las variables antitéticas, pero sólo ayudan marginalmente). Incluso en ejemplos básicos como un precio de compra en un Black-Scholes con una volatilidad modesta ( $30\%$ ) e incluso millones de trayectos, especialmente para los pequeños $h$ (Tengo cuidado de hacer todo en doble precisión para evitar errores de redondeo en las diferencias finitas), cuando se compara con las sensibilidades con respecto a otros parámetros de difusión. Por ejemplo, el estimador de la sensibilidad que obtengo en ambos casos tiene una desviación estándar que es del orden (o incluso mayor) del propio valor de la verdad básica, lo que significa que es literalmente basura.
¿Existen referencias sobre el cálculo y las cuestiones numéricas de la sensibilidad con respecto al tiempo de las funciones de valor/precio como la introducida aquí utilizando un esquema de discretización temporal para la SDE y simulaciones de Monte-Carlo (sin enfoques basados en PDE)?
