Cartera - Probabilidad de impago

Question

Supongamos que queremos identificar la frecuencia de impago de una cartera con 1000 préstamos. En el caso de la independencia, el proceso de impago de cada empresa sigue una distribución Bernoulli con parámetro $p = 0.01$ .

Es decir, cada empresa tiene un 1% de probabilidad de impago independiente. Esto se puede representar con el indicador funciones ${Y_i},i=1,...,1000$ , donde $P(Y_i = 1) = p$ .

En el caso correlacionado, todas las empresas tienen un factor común factor común $X$ (aquí podría ser una variable macro, por ejemplo) y sus procesos por defecto pueden ser representados por $Y_i = I_{X_i<a}$ donde $X_i = X +_i$ y $X N(0,1)$ y $_i N(0,b)$ , $i = 1,...,1000$ . Todo $$ 's son independientes entre sí y de $X$ .

Dejemos que $M = \sum_{i=1}^{1000}Y_i$ representan el número de impagos en su cartera. ¿Cuál es la relación entre $a$ y $b$ de manera que la probabilidad marginal de impago de cada empresa siga siendo del 1% y cómo puedo calcular la correlación de impago $(Y_i,Y_j)$ en función de $a$ y $b$ ?

Answer 1

Las normales no servirán en este caso, por todas las razones por las que falla el Modelo de Probabilidad Lineal. Puede generar probabilidades negativas; y cuando no lo hace, está garantizado que es heterocedástico,

Si tiene pruebas de que alguna variable es relevante para la probabilidad de impago, entonces la regresión logística parece una forma obvia de incorporarla. Esta variable podría ser "micro", por ejemplo, la cobertura de la deuda de la empresa con respecto al EBITDA, que distingue entre las empresas con mayor o menor probabilidad de impago. O podría ser "macro", como el crecimiento del PIB mundial, que afecta a la probabilidad de impago de las empresas en general. Por supuesto, diferentes tipos de empresas podrían tener betas (logísticas) muy diferentes a estos factores de riesgo macro...

Por lo tanto, la forma de modelar estos riesgos no es ni mucho menos un libro cerrado. Pero la regresión subyacente debe ser sobre las probabilidades de impago (logits o probits, que suelen dar resultados muy similares) en lugar de hacerlo directamente sobre la propia probabilidad de impago.

Answer 2

Bueno $\text{Pr}(X<a)=0.01$ para $a\approx -2.33$ . Desde $\text{Var}(X+\epsilon_{i})=1+b$ necesitamos escalar por $\sqrt{1+b}$ Así que $\text{Pr}(X+\epsilon_{i}<a)=0.01$ para $a\approx -2.33\sqrt{1+b}$ .

A continuación, observe que \begin{equation*} \begin{pmatrix}X_{i}\\X_{j}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\ \epsilon_{i} \\ \epsilon_{j}\end{pmatrix} \end{equation*} por lo que su matriz de covarianza vendrá dada por \begin{equation*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+b & 1 \\ 1 & 1 + b\end{pmatrix} . \fin{ecuación*} Después de eso, si quieres números, creo que tienes que pasar a Mathematica o algo así.

Editar : ¿No es tanto como querías? Aquí hay un dato sobre la Normal bivariada que es bastante relevante. Si \begin{equation*} f(\rho,x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^{2})}\left(x^{2}-2\rho x y + y^{2}\right)\right\} \end{equation*} y \begin{equation*} F(\rho,s,t)=\int_{-\infty}^{s}dx \int_{-\infty}^{t}dy\, f(\rho,x,y), \end{equation*} puis \begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial \rho}(\rho,s,t)=f(\rho,s,t). \end{equation*} Véase, por ejemplo, Sungur (1990) Dependence Information in Parameterized Copulas Parametrizadas, Comunicaciones en estadística--Simulación y cálculo , 19:4, 1339-1360, DOI: 10.1080/03610919008812920.

Para aplicar esto a su problema, redefina $X_{i}$ según \begin{equation*} X_{i}=\frac{1}{\sqrt{1+b}}\left(X+\epsilon_{i}\right) \end{equation*} para que $ \begin{pmatrix} X_{i} \\ X_{j} \end{pmatrix}$ tiene una matriz de covarianza $ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1+b} \\ \frac{1}{1+b} & 1 \end{pmatrix} $ . Ahora $a = -2.33$ puede seguir siendo independiente de $b$ y $ \rho=\frac{1}{1+b}$ .

Dado que la correlación total $\rho=1$ implica un incumplimiento simultáneo con probabilidad $0.01$ , \begin{equation*} F\left(\frac{1}{1+b},a,a\right) + \int_{\frac{1}{1+b}}^{1}\frac{\partial F}{\partial \rho}(\rho,a,a) \, d\rho= 0.01. \end{equation*} y por lo tanto \begin{align*} F\left(\frac{1}{1+b},a,a\right)&= 0.01 - \int_{\frac{1}{1+b}}^{1} f(\rho,a,a) \, d\rho \\ &= 0.01 - \int_{\frac{1}{1+b}}^{1} \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\left\{{-\frac{a^{2}}{1+\rho}}\right\} \, d\rho. \end{align*} Esta cantidad, también conocida como $\mathbb{E}\left[Y_{i}Y_{j}\right]$ es, creo, el que usted pedía. Para los pequeños $b$ , \begin{align*} \mathbb{E}\left[Y_{i}Y_{j}\right]&\approx 0.01 - \frac{1}{2\pi}\exp\left\{-\frac{a^{2}}{2}\right\}\arccos\frac{1}{1+b}\\ &\approx 0.01 - 0.01063 \arccos\frac{1}{1+b} \end{align*}

Answer 3

Dado el modelo estructural con gaussianos correlacionados que describes, dudo que obtengas una respuesta mucho mejor que la que te han dado a tu pregunta específica sobre la correlación de dos puntos $\mathbb{E}\!\left[Y_{i}\,Y_{j}\right]$ . (¡Me encantaría que se demostrara lo contrario! Este no es mi trabajo diario).

Pero este planteamiento no se adapta bien, y aunque no hace ninguna pregunta específica al respecto, sí menciona una gran cartera (de miles de préstamos). Para eso, yo sugeriría algo más parecido a lo siguiente.

$y_{i}$ una variable binaria como la anterior, $\boldsymbol{y}$ el vector de todos los préstamos. \begin{equation*} P(\boldsymbol{y})=\frac{1}{Z}\exp\left\{-H(\boldsymbol{y})\right\} \qquad \qquad Z=\sum_{\boldsymbol{y}}\exp\left\{-H(\boldsymbol{y})\right\}. \end{equation*} \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} a & b & b & \cdots\\ b & a & b & \cdots\\ b & b & a & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} H(\boldsymbol{y})= -\boldsymbol{y}^{T}A\boldsymbol{y} =-(a-b)\sum_{i}y_{i} - b \left(\sum_{i}y_{i}\right)^{2} \end{equation*} Entonces el número de impagos tiene distribución \begin{equation*} P(k)=\frac{1}{Z}\binom{N}{k}\exp\left\{(a-b)k+bk^{2}\right\}. \end{equation*}

Como comprobación de cordura, consideremos el caso con correlación cero, es decir, con $b=0$ . Entonces \begin{equation*} P(k)=\frac{1}{Z} \binom{N}{k} \exp\left\{ak\right\} =\frac{\binom{N}{k} p^{k}(1-p)^{-k}} {\sum_{k}\binom{N}{k} p^{k}(1-p)^{-k}} =\binom{N}{k} p^{k}(1-p)^{N-k} \end{equation*} donde \begin{equation*} p=\frac{1}{1+\exp\left\{- a\right\}}\qquad\qquad \exp\left\{a\right\}=\frac{p}{1-p}. \end{equation*}