Me dijeron en clase que si tenemos una función de producción tal que $f'(x)>0$ y $f''(x)<0$ entonces tenemos que el producto marginal es menor que el producto medio. Es decir $f'(x)<\frac{f(x)}{x}$ . Este no es un resultado que deba demostrar en clase, sólo lo hago por curiosidad. Les mostraré lo que tengo hasta ahora:
Prueba: Supongamos que $f''(x)<0$ . Definamos el producto medio como $AP$ . Es decir, $$AP:=\frac{f(x)}{x}$$ $$\Longrightarrow AP'=\frac{f'(x)x-f(x)}{x^{2}}$$ Desde $sign(x^{2})>0, \ \forall \ x \in \mathbb{R}$ sabemos que $sign(AP')=sign(f'(x)x-f(x))$ . Ahora estoy atascado. Puedo ver que si $AP'<0$ , entonces nuestro resultado se deduce fácilmente. Es decir, si el producto medio es decreciente, entonces $f'(x)<AP$ . Dicho esto, no soy capaz de ver la conexión entre los supuestos que hice para la prueba (f'>0 y f''<0) y la pendiente(AP)<0. ¿Podría alguien darme alguna idea de lo que me estoy perdiendo. Puedo tomar la segunda derivada del producto medio y ver que
$$AP''=\frac{(f''(x)x+f'(x)-f'(x))x^{2}-2x(f'(x)x-f(x))}{x^{4}}=\frac{f''(x)x^{3}-2x^{2}f'(x)-2xf(x)}{x^{4}}$$
y sign(AP'')=signo(numerador) una vez más. Dado que $f''<0$ y $f',f>0$ , entonces es evidente que la pendiente de la pendiente de AP es decreciente. Es decir, el producto medio es (creciente o decreciente) a una tasa decreciente. Pero esto no me da más información sobre el signo de AP.
