He visto que los precios y $\text{MU}_{i}$ se suponen positivos (o, las preferencias monótonas). Esto siempre se menciona cuando se resuelve un problema de maximización de la utilidad con el método Lagrangiano. ¿Hay alguna razón para ello? Si las $\lambda$ existe, ¿no se obtiene una solución independientemente de todas estas condiciones?
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user10287
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Consideremos el siguiente problema de maximización de la utilidad
$$\max_{x_1,...,x_K} U(x) \\ s.t. \sum_{k=1}^K p_kx_k \leq I \\ x_k \geq 0,$$
se puede establecer una función lagrangiana
$$\mathcal L(x_1,...,x_K,\lambda,\delta_1,...,\delta_K) = U(x) + \lambda(I - \sum_k p_kx_k) + \sum_k\delta_k x_k$$
con las condiciones de primer orden
$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_k} = \frac{\partial U}{\partial x_k}-\lambda p_k +\delta_k = 0$$
Considere entonces un candidato para una solución $x' = (x'_1,...,x'_K)$ . Supongamos que hay algún $j$ tal que $\partial U(x')/\partial x_j >0$ . Esto afirma que para algún bien en la solución candidata el agente no está saciado. Suponiendo además que $p_j>0$ esto implica que
$$\frac{\frac{\partial U(x')}{\partial x_j} + \delta_j}{p_j}=\lambda > 0$$
porque $\delta_j \geq 0$ de las condiciones KKT del candidato a la solución. Esto implica que la restricción de ingresos debe ser vinculante $\sum_k p_k x'_k = I$ .
Supongamos además que hay algún $x'_s$ para lo cual $p_s'<0$ esto implicaría entonces que
$$\frac{\partial U(x')}{\partial x_s}=\lambda p_s -\delta_s,$$ donde el LHS es estrictamente negativo porque $\lambda>0$ y $\delta_s\geq 0$ lo que implica que la utilidad marginal $\frac{\partial U(x')}{\partial x_s}<0$ . La intuición aquí es que el precio negativo introduce un máquina de hacer dinero y a menos que el agente obtenga una utilidad marginal negativa de $x_s$ en $x'$ el agente podría relajar la restricción de ingresos y aumentar la utilidad. Un ejemplo sería que una persona obtuviera una utilidad marginal positiva por trabajar siendo el precio del trabajo $-w$ el negativo de la tasa salarial.
Si $p_s=0$ entonces
$$\frac{\partial U(x')}{\partial x_s} = -\delta_s$$
donde $\delta_s\geq 0$ por lo que o bien la persona estaría obteniendo una utilidad marginal negativa de $x_s$ o simplemente 0. Sin embargo, si $x'_s>0$ se sabe además que $\delta_s=0$ lo que implica que $\frac{\partial U(x')}{\partial x_s}=0$ . La intuición aquí es simplemente que si el precio es 0 la satisfacción de la restricción de ingresos no se ve afectada por $x'_s$ . Si $x'_s>0$ el agente puede aumentar o disminuir $x'_s$ que sigue satisfaciendo la restricción $x'_s\geq 0$ . Por lo tanto, si el agente tiene una utilidad marginal negativa, puede disminuir $x'_s$ para obtener una mayor utilidad sin dejar de satisfacer todas las restricciones. Si el agente tiene una utilidad marginal positiva, puede aumentar $x'_s$ para volver a obtener una mayor utilidad sin dejar de satisfacer todas las restricciones.
Precios
Se puede suponer que los precios son positivos simplemente porque suelen serlo. Puede haber algunos ejemplos raros, como los futuros del precio del petróleo en 20 de abril de 2020 . Sin embargo, estos ejemplos son bastante raros.
Sin embargo, asumir explícitamente que los precios son positivos no es tan común. Por ejemplo, Varian Microeconomic Analysis 3rd edition no lo asume para muchos problemas de consumo (por ejemplo, véase el capítulo 9).
Algunos textos prefieren también hacer explícitamente que los precios no sean negativos, pero no es algo omnipresente.
Utilidad marginal
Esto se debe a que los problemas microeconómicos típicos presuponen que "más es siempre mejor" para el consumidor (lo que implica la no relación).
Si asumes que más es siempre mejor tienes que asumir $U’>0$ .
Si se elige alguna función de utilidad para la que $U’<0$ será violado porque esto implica que en algún momento el consumidor consume tanto que no querrá consumir más.
Si el existe, ¿no se obtiene una solución independientemente de todas estas condiciones?
Hay algunas condiciones más que deben cumplirse para que el problema de optimización tenga una solución, como que las funciones sean diferenciables, etc. Sin embargo, los supuestos anteriores no tienen mucho que ver con la existencia de la solución por sí mismo (aunque dependiendo del problema exacto podrían ser necesarios). Más bien querrá imponer algunas restricciones al problema si son razonables para reducir el número de soluciones posibles.
Por ejemplo, si los precios son muy raramente negativos podría no ser interesante considerar soluciones potenciales donde los precios son negativos.
Del mismo modo, aunque ciertamente hay casos en los que el ser humano no siempre es mejor (por ejemplo, el consumo de alimentos), si observamos algunos bienes compuestos o una gran variedad de bienes no es descabellado suponer que más es siempre mejor. Probablemente haya muy pocas personas en el mundo que no quieran aumentar el consumo de algo. Algunas personas podrían preferir viajar más, pasar más tiempo en algún bonito complejo turístico, viajar más cómodamente, tener una mejor educación, más atención sanitaria, etc. La mayoría de la gente preferirá más a menos, salvo algunas excepciones (por ejemplo, los monjes budistas).
Por lo tanto, asumiendo $U’>0$ es una suposición razonable fuera de algunos problemas especializados en los que podría querer no asumir que más es siempre mejor. Es posible que no haya visto problemas de este tipo porque los libros de pregrado o de nivel intermedio, e incluso muchos libros de posgrado, no siempre cubren estos casos más especializados, pero ciertamente existen. Así que es posible encontrar problemas en los que no se asume que la utilidad marginal es siempre positiva, sólo que son muy raros.
Condiciones para la existencia del lagrangiano
Aquí están las condiciones para la existencia del multiplicador de Lagrang (siguiendo a Sydsaeter et al Further Mathematics for Economic Analysis pp 153-154):
Dado un problema:
$$ \max f(x) \text{s.t.} \begin{cases} \displaystyle g_j(\mathbf{x}) =0, j=1,...,r \\ \displaystyle h_k(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,...,s \end{cases}$$
Los multiplicadores lagrangianos existirán (y por lo tanto se podrá aplicar el lagrangiano) si $f,g,h$ son todos $C^1$ en algún conjunto abierto $A$ en $\mathbb{R}$ y supongamos que $\mathbf{x^*}$ es un punto extremo local en el problema anterior sobre A. Entonces existen números $\alpha, \lambda_1,...,\lambda_r, \mu_1,...,\mu_s$ que no son todos 0, tal que:
- $\alpha \geq 0$
- $\alpha \nabla f(\mathbf{x^*}) = \sum \lambda_j \nabla g_j (\mathbf{x^*}) + \sum \mu_k \nabla h_k (\mathbf{x^*})$
- para cada $k=1,...,s$ uno tiene $\mu_k \geq 0 $ y $\mu_k=0$ si $h_k(\mathbf{x^*})<0$
Así que la existencia del multiplicador lagrangiano no requiere que la función objetivo sea estrictamente creciente ni requiere que todos los parámetros de la restricción $g$ y $h$ para ser no negativo.
Cuando se trata de la existencia de la solución el multiplicador lagrangiano tendrá solución (ver Sydsaeter et al pp 146) $\mathbf{x^*} = (x_1^*,...,x_n^*)$ si $f, g$ y $h$ son $C^1$ funciones, $r<n$ se cumplen las condiciones estándar de Khun-Tucker y se satisface la cualificación constante (vectores de gradiente $\nabla g_j (\mathbf{x^*}, 1\leq j \leq m$ correspondientes a las restricciones que están activas en $\mathbf{x}^*$ son linealmente independientes, y con sujeción a los requisitos antes mencionados para la existencia de multiplicadores, entonces habrá algunos números únicos $\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu}$ tal que:
- $\alpha \nabla f(\mathbf{x^*}) = \sum \lambda_j \nabla g_j (\mathbf{x^*}) + \sum \mu_k \nabla h_k (\mathbf{x^*})$
- $\mu_k \geq 0 $ y $\mu_k = 0$ si $h_k(\mathbf{x^*})<c_k, k =1,...,R$
y si el Lagrangain es cóncavo en $\mathbf{x}$ y es admisible $\mathbf{x^*}$ que satisface las condiciones anteriores, entonces $\mathbf{x^*}$ resuelve el problema de maximización.
Tenga en cuenta que ninguna de las condiciones anteriores requiere todos los parámetros de $h$ o $g$ ser positivo o $f'_i$ para que sea estrictamente no negativa en todas partes (por supuesto, la función tiene que ser cóncava en la vecindad de algún máximo local a menos que haya una solución de esquina, pero no hay razón para que sea no negativa en todas partes.
