Optimización restringida con múltiples restricciones: ¿Implican los multiplicadores múltiples estrictamente positivos una solución en un vértice?

Question

Puede que sea una pregunta un poco tonta pero estoy interesado en resolver problemas económicos estándar con muchas restricciones y me pregunto si hay algún atajo.

Para empezar, supongamos que tenemos el siguiente problema genérico de maximización de la utilidad con $k$ muchas restricciones que se mantienen con igualdad.

$$\max U(x_1,...,x_n)$$ con sujeción a $$m_1\geq\sum_{i=1}^nr_i^1 x_i \tag{1}$$ $$...$$ $$m_k\ge\sum_{i=1}^n r_i^k x_i \tag{k}$$

La forma tradicional de resolver este tipo de problemas sería identificar los posibles óptimos considerando una restricción a la vez y luego ver si viola alguna restricción. Sin embargo, es posible que exista una solución de esquina, en cuyo caso buscaríamos los valores en los vértices de nuestro conjunto factible definido por nuestro conjunto de restricciones.

Este es un problema tedioso, sin embargo me pregunto si basta con mirar los valores de los multiplicadores de Lagrange asociados a cada una de estas restricciones (comprobando si varios son positivos) para inferir si un vértice de nuestra región factible es efectivamente el óptimo.

En resumen, si identifico un caso en el que digamos dos multiplicadores $\lambda_i$ y $\lambda_j$ son estrictamente positivos, ¿significa eso que el óptimo está en un vértice para este problema?

Answer 1

Si por $\lambda_i$ se refiere al multiplicador perteneciente a la restricción ( $i$ ), entonces $\lambda_i$ y $\lambda_j$ ser positivo sí significa que estas limitaciones son activas/efectivas/realizadas como igualdades.

Ahora bien, no me queda muy claro lo que quiere decir con " solución de esquina ". Las restricciones ( $1$ ),( $2$ ),...,( $k$ ) suelen definir un poliedro en $\mathbb{R}^n$ , donde $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ es tal que se cumplen todas las restricciones, por lo que este poliedro es el conjunto/región de soluciones factibles. Si una solución está en el interior de este conjunto, definitivamente no es una solución de esquina; de lo contrario, no estoy seguro. Por ejemplo, ¿una solución en la arista (pero no en ninguna esquina/vértice) de un cubo es una solución de esquina? O quizás te referías a al menos una $x_i$ ¿es cero?

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Si es menos, entonces $n$ multiplicadores son positivos, entonces es probable que su solución no esté en un vértice del poliedro, sino simplemente en una cara del mismo.

Para ver un ejemplo de esto, considere $$ U(x_1,x_2,x_3) = x_1x_2x_3, $$ y las restricciones son $$ 9 \geq 2x_1 + x_2 + x_3 \tag{1} $$ $$ 9 \geq x_1 + 2x_2 + x_3 \tag{2} $$ y las restricciones habituales de no negatividad.

La solución óptima en este caso es $(x_1, x_2, x_3) = (2,2,3)$ y los multiplicadores son $\lambda_1 = \lambda_2 = 2 > 0$ . La solución óptima no es un vértice de la región factible, es una combinación convexa de las soluciones factibles $(3,3,0)$ y $(0,0,9)$ . (Estas dos soluciones son vértices).