Cálculo de la expectativa de la volatilidad estocástica

Question

Tengo una pregunta al leer EL MODELO NELSON-SIEGEL DE LA DE LA VOLATILIDAD IMPLÍCITA EN LAS OPCIONES Y COMPONENTES DE VOLATILIDAD por Guo, Han y Zhao.

No entiendo por qué se mantienen las ecuaciones anteriores. Es fácil demostrar que $E_t[\sigma_{t+j}] = e^{-j\alpha}\sigma_t + \alpha \int_t^{t+j}\alpha e^{\alpha (s-t)} E_t[\bar{\sigma_s}]ds$ ¿Cómo implica esto las expectativas anteriores? ¿Tenemos que suponer que $E_t[\bar{\sigma_s}]=E[\bar{\sigma_s}], \quad \forall t \in [0, \infty)$ ?

Answer 1

Este ejercicio es bastante similar a la búsqueda de la media en el modelo de tipo corto de Vašícek. He mostrado los pasos para la segunda expresión a continuación - algo en la misma línea se puede hacer para la primera expresión.

Definir la función $$f_{t}:=f(t,\bar{\sigma}_{t})=e^{\kappa t}\bar{\sigma}_{t}$$ Utilizar Itô en la función $$\begin{align*} \text{d} f_{t}&=\kappa e^{\kappa t}\bar{\sigma}_{t}\text{d}t+ e^{\kappa t}\text{d}\bar{\sigma}_{t}\\ &=\kappa e^{\kappa t}\bar{\sigma}_{t}\text{d}t+ e^{\kappa t}\left(-\kappa(\bar{\sigma}_{t}-\bar{\bar{\sigma}}_{t})\text{d}t+\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t}\right)\\ &=e^{\kappa t}\kappa \bar{\bar{\sigma}}_{t}\text{d}t+e^{\kappa t}\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t}\\ &=e^{\kappa t}\left(\kappa \bar{\bar{\sigma}}_{t}\text{d}t+\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t}\right) \end{align*}$$ Sustituyendo $$\begin{align*} \bar{\sigma}_{t+j}&=e^{-\kappa (t+j)}f_{t+j}\\ &=e^{-\kappa (t+j)}\left(f_{t}+\int_{t}^{t+j}\text{d}f_{s}\right)\\ &=e^{-\kappa (t+j)}e^{\kappa t}\bar{\sigma}_{t}+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s}\kappa \bar{\bar{\sigma}}_{s}\text{d}s+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t}\\ &=e^{-\kappa j}\bar{\sigma}_{t}+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s}\kappa \bar{\bar{\sigma}}_{s}\text{d}s+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t} \end{align*}$$

Podemos entonces encontrar la expectativa $$\begin{align*} \mathbb{E}_{t} \left[ \bar{\sigma}_{t+j} \right] &=\mathbb{E}_{t} \left[e^{-\kappa j}\bar{\sigma}_{t}+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s}\kappa \bar{\bar{\sigma}}_{s}\text{d}s+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}\xi \bar{\sigma}_{t}\text{d}w_{t}\right]\\ &=e^{-\kappa j}\bar{\sigma}_{t}+e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s}\kappa \mathbb{E}_{t} \left[\bar{\bar{\sigma}}_{s}\right]\text{d}s \end{align*}$$ ya que la integral estocástica tiene media 0. Suponiendo que $\bar{\bar{\sigma}}_{t}$ es una martingala, es decir, que $\bar{\bar{\sigma}}_{t}=\mathbb{E}_{t} \left[ \bar{\bar{\sigma}}_{s} \right]$ para $t<s$ : $$\begin{align*} \mathbb{E}_{t} \left[ \bar{\sigma}_{t+j} \right]&=e^{-\kappa j}\bar{\sigma}_{t}+\bar{\bar{\sigma}}_{t}\kappa e^{-\kappa (t+j)}\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s} \text{d}s \end{align*}$$ Sabemos que $$\int_{t}^{t+j}e^{\kappa s} \text{d}s=\frac{e^{\kappa (t+j)}-e^{\kappa t}}{\kappa}$$ Así que $$\begin{align*} \mathbb{E}_{t} \left[ \bar{\sigma}_{t+j} \right] &=e^{-\kappa j}\bar{\sigma}_{t}+\bar{\bar{\sigma}}_{t}(1-e^{-\kappa j})\\ &=\bar{\bar{\sigma}}_{t}+e^{-\kappa j}\left(\bar{\sigma}_{t}-\bar{\bar{\sigma}}_{t}\right) \end{align*}$$ Esta fue la segunda expresión mostrada con $\tau:=e^{-\kappa}$ .