¿Qué tipo de interpolación es ésta?

Question

Tengo el proceso Wiener $W_t=\int_0^t\sigma(t)dB(t)$ donde $B(t)$ - Movimiento Browniano y $\sigma(t)$ - función constante a trozos. También tomo $t_k<t<t_{k+1}$ donde conozco los valores de $W_{t_k}$ y $W_{t_{k+1}}$ . He encontrado la implementación de algún tipo de interpolación pero no entiendo cómo se determina. Funciona de la siguiente manera:

1. $D = \sigma^2(t_{k+1})\times t_{k+1} - \sigma^2(t_{k})\times t_{k}$
2. $N=\sigma^2(t)\times t -\sigma^2(t_k)\times t_k=\sigma^2(t_k)\times (t-t_k)$
3. $W_t = \sqrt{N/D}\times W_{t_{k+1}} + (1-\sqrt{N/D})\times W_{t_k}$

Y en general me gustaría saber cuáles son los métodos populares de interpolación para el Proceso de Wiener con estocástico \piecewise volatilidad constante.

Answer 1

No entiendo por qué no usan simplemente $$\tag{1} D=\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k)$$ lo que lleva a la varianza teóricamente correcta de $W_t-W_{t_k}$ .

Reescribiendo (3) se obtiene para el incremento sobre el intervalo $[t_k,t]$ $$W_t-W_{t_k}=\sqrt{N/D}\,(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})\,.$$ Esto tiene una varianza de $$\tag{2} \mathbb E\Big[(W_t-W_{t_k})^2\Big]=\frac{N}{D}\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k )=\frac{\sigma^2(t_k)(t-t_k)}{\sigma^2(t_{k+1})\,t_{k+1}-\sigma^2(t_k)\,t_k}\sigma^2(t_k)(t_{k+1}-t_k )\,.$$ Desde $W_t=\int_0^t\sigma(s)\,dB_s$ deberíamos obtener teóricamente $$\tag{3} \mathbb E\Big[(W_t-W_{t_k})^2\Big]=\int_{t_k}^t\sigma^2(s)\,ds=\sigma^2(t_k)(t-t_k)\,.$$ El último signo de igualdad se desprende de la suposición de la constancia a trozos de $\sigma\,.$

Evidentemente, si se utiliza (1) en su lugar, (2) y (3) coinciden para todo $t\in[t_k,t_{k+1}]\,.$