Evaluación analítica del siguiente producto de tipo caplet bajo hipótesis lognormal

Question

Dejemos que $n \geq 2$ y considerar una discretización del tenor: $0 = T_{0} < T_{1} < ... < T_{n}$ y los tipos a plazo asociados evaluados en el momento $t$ , como $L_{i}(t):=L(T_{i},T_{i+1};t)$ para cualquier $i = 0,...,n-1$ .

Además, asumimos una dinámica lognormal bajo la medida $\mathbb P$ ,

$$dL_{i}(t)=L_{i}(t)(\mu_{i}^{\mathbb P}(t)dt +\sigma_{i}(t)dW_{i}(t)),$$

Donde $W_{i}$ es un movimiento browniano, y además, tenemos la siguiente estructura de correlación:

$dW_{i}(t)dW_{j}(t)=\rho_{ij}dt$ .

Definimos la siguiente cuenta del mercado monetario $M$ que toma dos argumentos $T_{i} < T_{j}$ :

$M(T_{i}, T_{j})=\frac{1}{T_{j}-T_{i}}\left(\prod\limits_{k=i}^{j-1}\left(1+L_{k}(T_{k})(T_{k+1}-T_{k})\right)-1\right)\; (*)$

Pregunta:

Huelga dada $K>0$ ¿Cómo puedo valorar el siguiente producto de tipo caplet?

Se paga $\max(M(T_{i},T_{j})-K,0)$ en el momento $T_{j}$ ?

Mis pensamientos :

Si estuviéramos en el modelo Black y sólo evaluáramos el caplet que paga $\max(L(T_{i},T_{j};T_{i})-K,0)$ en el momento $T_{j}$ se trataría simplemente de tomar la medida "terminal" $\mathbb Q^{P(T_{j})}$ y utilizando la fórmula negra:

$\text{Black}_{\text{caplet},i,j}(P(T_{j};0),K,L(T_{i},T_{j};0),\sigma_{i})$

No estoy seguro de cómo hacer lo mismo para $(*)$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Suponemos que, bajo la $T_i$ -Medida de avance, $$\begin{align*} dL_i = L_i(t)\sigma_i(t)g_i(t)dW_t^i, \end{align*}$$ donde $g_i(t)=\pmb{1}_{t \le T_i}$ . Entonces, para $k=i, \ldots, j$ En el marco de la $T_j$ -Medida de avance, $$\begin{align*} dL_k = L_k(t)\sigma_k(t)g_k(t)\bigg(dW_t^j - \sum_{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)}dt\bigg), \end{align*}$$ donde $\Delta_l = T_{l+1}-T_l$ . Sea $$\begin{align*} M_t=\frac{1}{T_j-T_i}\left(\prod_{k=i}^{j-1}\big(1+L_{k}(t)\Delta_k\big)-1\right), \end{align*}$$ y $$\begin{align*} \Sigma_t = \sum_{k=i}^{j-1}\ln\big(1+L_{k}(t)\Delta_k\big). \end{align*}$$ Entonces $M_{T_j} = M(T_i, T_j)$ . Además, $$\begin{align*} d\Sigma_t &= \sum_{k=i}^{j-1}\bigg(\frac{\Delta_kdL_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k} -\frac{1}{2} \frac{\Delta_k^2d\langle L_k, L_k\rangle_t}{\big(1+ L_k(t)\Delta_k\big)^2}\bigg)\\ &=\sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\bigg(dW_t^j \\ &\qquad-\sum_{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)}dt -\frac{1}{2} \frac{\Delta_k\sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}dt\bigg), \end{align*}$$ y $$\begin{align*} dM_t &= \frac{1}{T_j-T_i}d\left(e^{\Sigma_t}-1\right)\\ &= \frac{1}{T_j-T_i} e^{\Sigma_t}\left(d\Sigma_t + \frac{1}{2} d\langle\Sigma, \, \Sigma\rangle_t\right)\\ &=M_t \frac{1+(T_j-T_i)M_t}{(T_j-T_i)M_t}\sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\Bigg(dW_t^j \\ &\qquad\qquad-\bigg(\sum_{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)} +\frac{1}{2} \frac{\Delta_k\sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad- \frac{1}{2} \sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\bigg)dt\Bigg). \end{align*}$$ Aproximando todos los coeficientes con sus valores en el momento 0, se puede tener una aproximación analítica para $M$ y luego una fórmula de valoración de la cápsula de estilo negro.