Una pregunta sobre la expectativa condicional que implica la independencia

Question

Si el vector $(u,v)$ es independiente del vector $x$ Entonces me gustaría mostrar que $$E(u|x,v)= E(u|v)$$

Lo único que puedo deducir de las definiciones es que si $(u,v)$ es independiente de $x$ entonces $E( (u,v) | x)= E((u,v))$ .

¡Ya no puedo atacar este problema!

Ayuda

Answer 1

Bien, asumiendo que las variables aleatorias son absolutamente continuas, puedes usar densidades:

$$f(u|x,v)=\frac{f(u,v,x)}{f(x,v)}=\frac{f(u,v)f(x)}{f(x,v)}=\frac{f(u|v)f(v)f(x)}{f(x,v)}=f(u|v),$$

donde la segunda y última igualdades utilizan la independencia entre $x$ y $(u,v)$ .