Tasa de ahorro en estado estacionario

Question

Tengo problemas con el tipo de tasa de ahorro constante.

Este es el problema en el que estoy atascado:

La producción es $Y = 0.5*K^{1/3}(AN)^{2/3}$ .

1. Si el ahorro es $s$ %, ¿cuáles son los valores de estado estacionario del capital por unidad de trabajador efectivo y de la producción por unidad de trabajador efectivo?

2. Ahora, supongamos que la tasa de ahorro aumenta a $s_1$ % de $s$ %, ¿cuál será el capital por unidad de trabajador efectivo un año después del cambio en la tasa de ahorro?

Esto es lo que pienso:

$A$ es el estado de la tecnología, por lo que $AN$ es la cantidad de trabajo efectivo. Y, la producción por trabajador efectivo es una función del capital por trabajador efectivo: $Y/(AN) = f(K/(AN))$ .

Mi intento de solución:

Quiero $K/(AN)^* = f(Y/(AN))^*$ . El $Y$ es cobb-douglas. En estado estacionario, el ahorro por trabajador debe ser igual a la depreciación por trabajador.

En estado estacionario, $K_{t+1}/AN -K_t/AN = s(K_t/AN)^{1/3}-(K_t/AN)$

No estoy seguro de si es la fórmula correcta y si la he derivado correctamente. Esto debería describir la evolución del capital en el tiempo.

Así, a partir de la fórmula que he derivado, el capital por trabajador es $K^*/N=(S/)^3$

Así que usando eso, obtengo $K^*/AN=(14/2)^3=343$ Así que, $K^*=AN(343)=4(343)=1372$

Esto parece fuera de lugar...

Y, el estado estacionario de la producción por trabajador es $Y^*/AN=(K^*/AN)^{1/3}=(S/)^3=S/$ .

Así que usando esto, la fórmula, $S/=14/2=7$ %

A largo plazo, ¿significa esto que la producción por trabajador se duplica cuando la tasa de ahorro se duplica?

Ahora, viendo el aumento de la tasa de ahorro a $15$ %, el capital por unidad de trabajador efectivo al cabo de un año vendrá dado por $K_{t+1}$ ? No estoy muy seguro de cómo configurar este problema de aumento de porcentaje.

Answer 1

$\delta = 0.02$ es la depreciación.

$p = 0.02$ es el crecimiento de la población.

$g = 0.03$ es el crecimiento tecnológico.

$s = 0.14$ es la tasa de ahorro.

$Y=0.5\cdot K^{\frac{1}{3}}\left(AN\right)^{\frac{2}{3}}$ es la función de producción.

La ecuación de movimiento del capital es: $$ K_{t+1}=I_{t}+K_{t}\left(1-\delta\right)$$ $$ =s \cdot Y_{t}+(1-\delta)*K_{t}$$

Normalizar ambos lados por $A_t \cdot N_t$ $$ \frac{K_{t+1}}{A_t \cdot N_t} = s \cdot \frac{Y_{t}}{A_t \cdot N_t} +(1-\delta)*\frac{K_{t}}{A_t \cdot N_t}$$

Tenga en cuenta que $ A_{t+1} \cdot N_{t+1} = A_t \cdot N_t \cdot (1+p)\cdot(1+g)$

$$ \Rightarrow \frac{K_{t+1} \cdot (1+p)\cdot(1+g)}{A_{t+1} \cdot N_{t+1}} = s \cdot \frac{Y_{t}}{A_t \cdot N_t} + (1-\delta)*\frac{K_{t}}{A_t \cdot N_t}$$

$$\Rightarrow \frac{K_{t+1} \cdot (1+p)\cdot(1+g)}{A_{t+1} \cdot N_{t+1}} = s \cdot \frac{0.5\cdot K^{\frac{1}{3}}\left(A_t \cdot N_t\right)^{\frac{2}{3}}}{A_t \cdot N_t} + (1-\delta)*\frac{K_{t}}{A_t \cdot N_t}$$

Definir $\ell_t = \frac{K_{t}}{A_t \cdot N_t }$ y $\ell_{t+1} = \frac{K_{t+1}}{A_{t+1} \cdot N_{t+1} }$ es el capital por unidad de trabajador efectivo.

$$\Rightarrow \ell_{t+1} \cdot (1+p) \cdot(1+g)= 0.5 \cdot s \cdot \ell_t^{\frac{1}{3}} + (1-\delta)*\ell_t$$

Reconocer que en el estado estacionario: $$ \ell_{t+1} = \ell_{t}$$ lo que significa que el capital por unidad efectiva de trabajo es constante.

$$\Rightarrow \ell \cdot (1+p) \cdot(1+g)= 0.5 \cdot s \cdot \ell^{\frac{1}{3}} + (1-\delta)*\ell$$

$$\Rightarrow 2 \cdot \ell \frac{(1+p) \cdot (1+g) - (1-\delta)}{s} = \ell^{\frac{1}{3}} $$

$$ \Rightarrow \ell^{2/3}=\frac{s}{2\cdot[(1+p) \cdot (1+g) - (1-\delta)]}$$

$$ \Rightarrow \ell= \left\{\frac{s}{2\cdot[(1+p) \cdot (1+g) - (1-\delta)]}\right\}^\frac{3}{2}$$

$$ \approx \left\{\frac{s}{2\cdot[p + g + \delta]}\right\}^\frac{3}{2} $$

Que es igual a 1 (1 = 0,14 / (2 * (,02 + .03 + .02)), por lo que el capital por trabajador efectivo es 1.

La producción por unidad de trabajador efectivo es:

$$ \frac{Y_t}{A_t \cdot N_t} = \frac{0.5\cdot K_t^{\frac{1}{3}}\left(A_tN_t\right)^{\frac{2}{3}}}{A_t \cdot N_t} $$

$$ = \frac{0.5\cdot K_t^{\frac{1}{3}}}{\left(A_t N_t\right)^{\frac{1}{3}}} = 0.5 \cdot \left(\frac{K_t}{A_t N_t }\right)^{\frac{1}{3}}$$ $$ 0.5 \cdot \ell_t^{\frac{1}{3}} $$

Así pues, la producción por trabajador efectivo es de 0,5 cuando $s=0.14$ y por lo tanto $\ell=1$ .

Dada esta configuración, podemos sustituir la tasa de ahorro constante que queramos por $s$ , lo que nos da un nuevo valor de $\ell$ y la producción por trabajador efectivo.