Importa mucho cómo se define la rentabilidad esperada.
Tenga en cuenta que si comienza con, por ejemplo, 1.000 dólares y lanza repetidamente una moneda justa para ganar o perder un 1%, entonces el valor esperado (media aritmética) de su riqueza futura es siempre de 1.000 dólares, pero al final más probabilidades de perder que de ganar en general . Es decir, la distribución de los rendimientos a largo plazo está sesgada, porque los rendimientos se componen de forma multiplicativa en lugar de aditiva. Su mediana la riqueza después de, digamos, 10.000 volteos corresponde a ganar en 5.000 y perder en 5.000, es decir $1,000 x 1.01^5,000 x 0.99^5,000 = $ 607, una pérdida del 39%. Tiene un 50-50 de posibilidades de terminar en cualquier lado de los 607 dólares. Esta es también la geométrico medio.
Por lo tanto, la "rentabilidad esperada" más significativa es la expectativa de registro que se componen de forma aditiva y, por tanto, tienen un resultado a largo plazo mucho más intuitivo. La rentabilidad logarítmica esperada para cada lanzamiento de moneda anterior es 0,5 x ln(1,01) + 0,5 x ln(0,99) = -0,005%. Esto también puede entenderse como la (media aritmética) esperada utilidad si la utilidad se mide por el logaritmo de la riqueza, que capta convenientemente el valor decreciente de cada dólar adicional (un dólar proporciona más utilidad a un mileurista que a un millonario).
La idea de que se puede seguir aumentando indefinidamente la rentabilidad esperada aumentando el riesgo sólo es válida para la expectativa aritmética, que como hemos visto no tiene mucho sentido. Por ejemplo, comprar acciones con apalancamiento aumenta la expectativa aritmética proporcionalmente, pero a costa de una quiebra cada vez más probable con grandes pérdidas de las que no se puede recuperar. La rentabilidad logarítmica esperada capta lo que más importa a un inversor, y resulta ser esencialmente la rentabilidad aritmética menos una penalización proporcional a la varianza. A medida que se aumenta el apalancamiento, por ejemplo, la penalización por la varianza (cuadrática en el apalancamiento) pronto crece más rápido que la rentabilidad aritmética (lineal en el apalancamiento), por lo que la rentabilidad logarítmica esperada disminuye.
Por lo tanto, la varianza no es sólo un riesgo emocional al que uno se puede "armar de valor" y que se compensará a largo plazo, sino que tiene un efecto matemático directo sobre los resultados más probables a largo plazo.
Según la teoría de los mercados eficientes, la mayor rentabilidad logarítmica esperada es la generada por la "cartera de mercado", que consiste en todos los activos invertibles con ponderaciones de capitalización de mercado, lo que corresponde a un fondo de índice amplio no apalancado. Cualquier desviación de esta cartera para buscar una mayor rentabilidad esperada sería inútil porque la penalización de la varianza supera cualquier beneficio.
