Una distribución Gamma-Weibull para el modelo de subasta empírica

Question

Estoy leyendo Comparación de las subastas abiertas y selladas: Datos de las subastas de madera (versión del documento de trabajo) y luchando con la obtención de una función de probabilidad logarítmica sobre una distribución Gamma-Weibull. En particular, la versión simple de la distribución utilizada en el papel (p.20 Ec (7)) es:

$$G(b|X,u,N,n)=1-\exp\left(-u\left(\frac{b}{\lambda(X,N,n)}\right)^{\rho(n)}\right)$$

donde $\lambda(X,N,n) = \exp(X\beta)$ , $\rho(n)=\exp(\gamma n)$ y $u$ tiene una distribución Gamma con media y varianza unitarias $\theta$ . Si bien puedo entender la probabilidad logarítmica sin $u$ la probabilidad logarítmica de la subasta $t$ sería la siguiente con $u$ (versión simplificada de la p.32):

$$\ln L_t = n\ln\theta + \ln\Gamma\left(\frac{1}{\theta}+n\right)-\ln\Gamma\left(\frac{1}{\theta}\right) + \sum_{i=1}^n\ln\left(\rho_{it}\lambda_{it}\left(\frac{b_{it}}{\lambda_{it}}\right)^{\rho_{it}-1}\right) + \left(\frac{1}{\theta} + n\right)\ln\left(1+\theta\sum^n_{i=1}\left(\frac{b_{it}}{\lambda_{it}}\right)^{\rho_{it}}\right)$$

¿Cómo se obtiene esta ecuación?

Answer 1

No he podido encontrar el resultado. Aquí está mi intento.

El término aleatorio $u$ no se observa, por lo que no es posible confiar en la densidad condicional $$g(b|X,u,N,n)$$ para derivar la función de verosimilitud cuyos parámetros deben estimarse utilizando únicamente las variables explicativas observadas. La siguiente función de verosimilitud incondicional es de interés: $$L(b|X,N,n)= \int_0^\infty g(b|X,u,N,n)h(u|X,N,n) du,$$ con $h$ siendo la densidad de $u$ . Obtenemos la densidad de Weibull para $b$ de la fdc por $g=G'$ que da como resultado $$ g(b|X,u,N,n)= \frac{u\rho(n)}{\lambda(X,N,n)}\left(\frac{b}{\lambda(X,N,n)}\right)^{\rho(n)-1} \exp\left(-u\left(\frac{b}{\lambda(X,N,n)}\right)^{\rho(n)}\right). $$ Para el término aleatorio $u$ los autores consideran una "distribución Gamma con media y varianza unitarias $\theta$ y que es independiente de $X$ , $N$ y $n$ ", es decir $$ h(u|X,N,n)=h(u)= \left(\frac{1}{\theta}\right)^{1/\theta} u^{1/\theta-1} \frac{\exp(- u/\theta)}{\Gamma(1/\theta)}. $$ Una vez insertada en la función de verosimilitud tenemos (omitiendo las variables condicionantes): \begin{align*} L(b|X,N,n) = & \frac{\rho}{\lambda}\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho-1} \left(\frac{1}{\theta}\right)^{1/\theta} \frac{1}{\Gamma(1/\theta)} \cdot \int_0^\infty \exp\left[-u\left(\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho}+\frac{1}{\theta}\right)\right] u^{1/\theta-1} du \\ = & \frac{\rho}{\lambda}\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho-1} \left(\frac{1}{\theta}\right)^{1/\theta} \frac{1}{\Gamma(1/\theta)} \cdot \frac{\Gamma(1/\theta)}{ \left(\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho}+\frac{1}{\theta}\right)^{1/\theta}} \\ = & \frac{\rho}{\lambda}\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho-1} \left(\frac{1}{\theta}\right)^{1/\theta} \cdot \left(\left(\frac{b}{\lambda}\right)^{\rho}+\frac{1}{\theta}\right)^{-1/\theta}. \end{align*} La segunda igualdad se consigue tras utilizar el siguiente resultado: \begin{align*} & \frac{\Gamma(\beta+1)}{\alpha^{\beta+1}} = \int_0^\infty \exp(-\alpha u)u^\beta du. \\ \end{align*} Para una observación, la log-verosimilitud es: \begin{align*} \ln L(b|X,N,n) &= \ln \left( \rho/\lambda (b/ \lambda)^{\rho-1} \right) - 1/\theta\ln \theta - 1/\theta\ln( (b/\lambda)^{\rho} + 1/\theta) \\ &= \ln \left( \rho/\lambda (b/ \lambda)^{\rho-1} \right) - 1/\theta\ln \theta - 1/\theta \left( \ln( 1+ \theta(b/\lambda)^{\rho} ) - \ln\theta \right) \\ &= \ln \left( \rho/\lambda (b/ \lambda)^{\rho-1} \right) - 1/\theta \ln( 1+ \theta(b/\lambda)^{\rho} ). \end{align*}

Suma sobre $n$ produce la log-verosimilitud de la muestra. Hay diferencias obvias entre esta expresión y la que se espera encontrar... ¿Dónde está el error?