Ayuda para resolver el problema de optimización de la utilidad de Connelly 1992 (Economía)

Question

Estoy trabajando en un documento de Connelly 1992 en RESTAT y espero que me ayuden a resolver el problema de optimización que plantea. Pido disculpas porque puede ser simple para muchos de ustedes. No soy estudiante de economía y no es mi fuerte. El problema es el siguiente:

\begin{equation} \max_{\{?\}} U(x_m, Q, t_l) \end{equation} s.t. \begin{equation} Q = Q(t_q,t_{cc}q) \end{equation} \begin{equation} t_m + t_Q + t_l = 1 \end{equation} \begin{equation} t_m*W + V = x_m + p_{cc}t_{cc} \end{equation} \begin{equation} t_Q + t_{cc} < 1 \end{equation}

Salta a la siguiente parte, diciendo que algunos de los BDCs conducen a: $\frac{U_l}{U_x} = W = \frac{U_Q}{U_x}(Q_1-Q_2q^{*})+p_{cc}^{*}$ , donde $q^{*}$ es el nivel óptimo de $q$ y $p_cc^{*}$ es el precio en el punto óptimo elegido $q$ .

He omitido el contexto de los parámetros, que espero que no importe realmente. Sobre todo espero que alguien pueda ayudarme a entender cómo desglosar el problema de la utilidad máxima. En particular, me dan algunas pistas sobre los parámetros que el consumidor está eligiendo, pero no está del todo claro (de ahí la ? que dejé en el máximo). Además, la tercera expresión de la igualdad a tres bandas no me resulta obvia.

Muchas gracias de antemano por su paciencia y ayuda.

Answer 1

Supongo que el texto considera el problema

$$\max_{x,Q,t_L,t_Q,t_{cc},t_m,t_L,q} u(x,Q,t_L),$$

con sujeción a

$$Q(t_Q,t_{cc}q)- Q=0$$

$$1-t_Q-t_{cc}\geq0$$

$$1-t_m-t_L-t_Q\geq 0$$ $$t_mW+V-x-p_{cc}t_{cc}\geq 0$$

cuyo lagrangiano es

$$\mathcal L(.) = u(x,Q,t_L) + \lambda_1(Q(t_Q,t_{cc}q)-Q) + \lambda_2(1-t_Q-t_{cc}) + \lambda_3(1-t_m-t_L-t_Q) + \lambda_4 (t_mW+V-x-p_{cc}t_{cc})$$

Las derivadas de la función $Q(.,.)$ con respecto al primer argumento se denotan $Q_1$ y para el segundo argumento $Q_2$ . Diferenciando la función lagrangiana con respecto a las variables de elección se obtienen las siguientes condiciones de primer orden

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial x} - \lambda_4 = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal L}{\partial Q} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial Q} - \lambda_1 = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal L}{\partial t_L} = \frac{\partial \mathcal u}{\partial t_L} - \lambda_3 = 0,$$

Suponiendo que las tres utilidades marginales sean estrictamente positivas en el óptimo, se deduce de las condiciones de complementariedad de KKT que las restricciones 4,1 y 3 son vinculantes (como también se indica en el texto).

Otras condiciones de primer orden son

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial t_Q} = \lambda_1 Q_1 - \lambda_2 - \lambda_3 = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal L}{\partial t_{cc}} = \lambda_1 Q_2q - \lambda_2 - \lambda_4p_{cc} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal L}{\partial t_m} = -\lambda_3 + \lambda_4 W = 0,$$

el único coeficiente de Lagrange no determinado como utilidad marginal es $\lambda_2$ pero podemos conseguir

$$\lambda_2 = \lambda_1 Q_2q-\lambda_4 p_{cc} = \lambda_1 Q_1 - \lambda_3,$$ y por lo tanto

$$\lambda_3 = \lambda_1 (Q_1 - Q_2q) + \lambda_4 p_{cc},$$

dividir con $\lambda_4$ - que sabemos que es estrictamente positivo - y usar eso $\lambda_3/\lambda_4 = W$ para conseguir

$$W = \frac{\lambda_1}{\lambda_4}(Q_1 - Q_2q) + p_{cc}$$

que da los resultados al sustituir las expresiones por $\lambda_1$ y $\lambda_4$ en términos de utilidades marginales.

Por último, trate $p_{cc}$ en función de $q$ y diferenciar el Lagrangiano con respecto a $q$ para conseguir

$$\frac{\partial L(.)}{\partial q} = \lambda_1 Q_2 t_{cc} -\lambda_4t_{cc} \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q} =0,$$

$$t_{cc}\lambda_4 \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_4} Q_2 - \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q}\right)=0,$$

por lo que se asume la solución interna para $t_{cc}>0$ se deduce que

$$\frac{\lambda_1}{\lambda_4} Q_2 = \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q}$$ donde en el texto dice simplemente $Q_2 = \frac{\partial p_{cc}}{ \partial q}$ Supongo que esto es simplemente porque $\frac{\lambda_1}{\lambda_4}$ se ignora como una constante de escala de utilidad irrelevante en el óptimo.

Answer 2

Mather elige sus asignaciones de tiempo para maximizar su utilidad.

$\frac{U_{l}}{U_{x}}=W$ Esta parte es simplemente la utilidad marginal de utilizar el tiempo en el consumo igual a la utilidad marginal de utilizar el mismo tiempo en el ocio.

$W=\frac{U_{Q}}{U_{x}}\left(Q_{1}-Q_{2} q^{*}\right)+p_{c c}^{*}$ La utilidad marginal de utilizar el tiempo en el consumo es igual a la utilidad marginal de utilizar el mismo tiempo en el niño. Esto es más complicado que el caso del ocio porque el aumento del tiempo dedicado al niño también reduce el tiempo dedicado al servicio de guardería, lo que afecta a la utilidad de la madre a través del cambio en la calidad del niño y el dinero ahorrado que puede utilizarse para el consumo.