Demostrar que la solución de una EDE es fuerte

Question

Tengo el siguiente SDE

$$\begin{equation} dX_t = - \frac{1}{1+t}X_t dt + \frac{1}{1+t}dB_t \end{equation}$$

que tiene la solución:

$$\begin{equation} \begin{aligned} X_t = \frac{X_0 + B_t}{1+t} = \frac{B_t}{1+t} \;\;\; X_0 = 0 \end{aligned} \end{equation}$$

Ahora bien, ¿cómo puedo demostrar que se trata de una solución sólida?

He encontrado en Internet que debo demostrar que se cumplen estas 2 condiciones:

$$\begin{align} |\mu(t,x)| + |\sigma(t,x)| \leq c(1+|x|) \\ |\mu(t,x) - \mu(t,y)|+|\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| \leq D|x-y| \end{align}$$

Sé que $\mu(t,x) = \frac{-1}{1+t}X_t$ y $\sigma(t,x) = \frac{1}{1+t}$ por lo que la primera desigualdad sería

$$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{1}{1+t}(|X_t| + 1) \leq c(1 + |X_t|) \\ \frac{1}{1+t} \leq c \end{aligned} \end{equation}$$

que debe cumplirse como cuando $t \rightarrow \infty$ el LHS va a 0. Para el segundo no estoy seguro de cómo avanzar.

Answer 1

Esto era demasiado largo para un comentario:

Sobre la base de lo anterior, $\sigma(t,x) = \sigma(t)$ no depende de $x$ . Por lo tanto, los cálculos se parecen a sus derivaciones hechas con la primera desigualdad.

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Dejemos que $D<\infty$ sea una constante y defina,

$$\sigma(t,\cdot)=\sigma(t)=\frac{1}{1+t}, \qquad \mu(t,X_t) = \frac{-X_t}{1+t} \qquad \text{and} \qquad \mu(t,Y_t) = \frac{-Y_t}{1+t}$$

Entonces vea eso:

$$\begin{align} |\mu(t,x) - \mu(t,y)|+|\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| &= \bigg|\frac{-X_t}{1+t} - \left(\frac{-Y_t}{1+t}\right)\bigg| + \bigg|\frac{1}{1+t}-\frac{1}{1+t}\bigg|\\ &=\bigg|\frac{1}{1+t} \cdot \left(Y_t - X_t\right)\bigg|\\ &=\frac{1}{1+t} |Y_t - X_t|\\ &\leq D |X_t - Y_t|, \end{align}$$ se satisface cuando $\frac{1}{1+t}\leq D$ lo cual es cierto para $t \rightarrow \infty$ . En conclusión, la EDE satisface la condición de Lipschitz y tiene una solución fuerte (única). Puede que me haya olvidado de algunas formalidades matemáticas. Sin embargo, así es como yo enfocaría la segunda desigualdad.