¿Es la definición de Varian de continuidad de la preferencia equivalente a las definiciones estándar?

Question

He aquí dos definiciones de la continuidad de las preferencias. Denotemos la relación de preferencia (débil) por . Asumimos la completitud, la reflexividad y la transitividad. Suponga que no hay satiación o monotonicidad estricta sólo si es necesario (y si lo hace, menciónelo).

Definición 1 (estándar): Si $(x_n)$ y $(y_n)$ son dos secuencias tales que $x_n \to x$ y $y_n \to y$ , entonces si $x_n y_n$ para todos $n$ tenemos $x y$ .

Definición 2 (Varian/NS): Si $x \succ y$ y $z$ está "suficientemente cerca" de $x$ entonces $z \succ y$ .

¿Podemos demostrar que estos dos son equivalentes?

Aquí hay un intento.

Prueba de que la Def. 2 implica la Def. 1: Supongamos que no. Supongamos la definición de Varian. Entonces si tenemos $(x_n)$ y $(y_n)$ con los criterios dados, el resultado sería $y x$ (debido a la exhaustividad). Dado que (para todo $n$ ) $y_n$ está lo suficientemente cerca de $y$ por la Def. 2, $y_n y$ lo que no es necesariamente cierto en general. Por lo tanto, la Def. 2 implica la Def. 1.

¿Podemos demostrar que la Def. 1 implica la Def. 2? Parece que necesitamos condiciones adicionales, pero no puedo averiguar qué es lo que se necesita, si es que se necesita.

Nota: "Suficientemente cerca" es una terminología informal utilizada por Varian, por lo que se puede tratar de esta manera - si $x$ y $z$ están suficientemente cerca, es decir, si $z$ se encuentra en el $\epsilon$ -bola de $x$ (escrito $B(x,\epsilon)$ ), entonces $\epsilon > 0$ puede ser tan pequeño como usted deseo.

Editar: Varian/Nicholson_Snyder utilizaba preferencias estrictas que ahora se han incorporado.

Answer 1

Lo que dice Varian (Microeconomic Analysis, p 95) es que

Si $x$ es estrictamente preferible a $y$ y si $z$ es un paquete que está lo suficientemente cerca de $x$ entonces $z$ debe ser estrictamente preferido a $y$ .

Esto es una consecuencia de la definición estándar. De hecho, si formalizamos esto, se establece que:

• Si $x \succ y$ y si $z$ está lo suficientemente cerca de $x$ entonces $z \succ y$ .
• De manera equivalente, si $x \succ y$ entonces hay un $\varepsilon > 0$ tal que para todo $z \in B(x, \varepsilon)$ , $z \succ y$ .
• De forma equivalente, cada $x$ en $\{w| w \succ y\}$ es un punto interior.
• Equivalentemente, $\{w| w \succ y\}$ es un conjunto abierto.
• Equivalentemente, como las preferencias son completas, $\{w| y \succeq w\}$ es un conjunto cerrado.

Esto último se deduce de la continuidad ya que lo siguiente es cierto:

Propuesta Si las preferencias son continuas (como en la definición 1) entonces para todo $y$ los conjuntos $\{w| y \succeq w\}$ están cerradas.

Prueba: Supongamos que las preferencias son continuas. Consideremos una secuencia convergente $(w_n)$ en $\{w| y \succeq w\}$ entonces para todos $n$ , $y \succeq w_n$ . Así que si definimos la secuencia $(y_n)$ con $y_n = y$ para todos $n$ tenemos que $y_n \succeq w_n$ para todos $n$ . Como $w_n \to w$ y $y_n \to y$ tenemos que $y \succeq w$ . Como tal, $\{w| y \succeq w\}$ contiene todos sus puntos límite, es decir, es un conjunto cerrado.

Answer 2

Así es como se puede demostrar que la definición 1 implica la definición 2. Hacemos el contrapositivo, mostramos que si la definición 2 falla entonces la definición 1 también fallará.

Supongamos que $x\succ y$ pero para cada $\epsilon>0$ existe $x'$ y $y'$ tal que $x'\in B(x,\epsilon)$ y $y'\in B(x,\epsilon)$ pero $y'\succeq x'$ .

Entonces podemos encontrar para cada número natural positivo puntos $x_n$ y $y_n$ tal que $x_n\in B(x,1/n)$ , $y_n\in B(y,1/n)$ y $y_n\succeq x_n$ . Entonces $(x_n)\to x$ , $(y_n)\to y$ , $y_n\succeq x_n$ para todos $n$ pero no $x\succeq y$ , lo que contradice la definición 1.