Discretización de la EDP de Black Scholes

Question

Podemos resolver la EDP de Black Scholes por métodos numéricos como el de Euler \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0 \end{equation} Para ello, tenemos que discretizar el espacio de las existencias. Una forma sencilla es establecer un rango de precios potenciales de las acciones y luego dividirlo uniformemente.

Mi confusión es que, en este proceso, la distribución del precio de la acción subyacente, es decir, $dS_t=rS_tdt+\sigma dW$ parece ser el único factor que determina el alcance de la red espacial. Así que la probabilidad de llegar a cada cuadrícula espacial no afecta a la solución de la EDP. Pero por otro lado, si el precio de las acciones sigue otro proceso, aunque la distribución tenga un rango similar, el precio de la opción debería cambiar sin duda. ¿Qué se me escapa?

Answer 1

Supongamos una malla suficientemente "amplia y densa" de puntos de muestreo $(S_i,t_j), i=0..N, j=0..M$ , $S_i=S_{low}+i\Delta S$ , $t_j=j\Delta t$ . Dada la retribución codificada en $v_{i,M}$ y algunas condiciones de contorno para $j=M$ , a partir de $j=M$ Hacia atrás, un esquema de aproximación numérica recursiva explícita a la ecuación de valor funciona entonces según las líneas de

$$ v_{i,j}=\alpha v_{i-1,j+1}+\beta v_{i,j+1}+\gamma v_{i+1,j+1} $$

donde $\alpha,\beta,\gamma$ son unos pesos definidos por los parámetros del proceso subyacente, es decir $r,\sigma$ y el tamaño de los pasos de discretización elegidos $\Delta S,\Delta t$ . Como ya has "fijado" algún método y discretización (sensata), los parámetros $\alpha,\beta,\gamma$ se rigen únicamente por el proceso subyacente, y eso es lo que influirá en el precio de la opción.

¿Ayudó eso?