Separar los saltos y la difusión

Question

Quiero modelar los precios de la energía. Tengo dos mercados, digamos el mercado 1 y el 2.

El mercado 1 se negocia de forma continua, y supondré que sigue un movimiento browniano. Así que el valor del activo podría definirse así sólo en este mercado.

$$dS = \mu S dt + \sigma S dW$$

con $dW = \epsilon \sqrt{dt}$ y $\epsilon \sim \mathcal{N}(0,1)$

Ahora el mercado 2 es un poco diferente. Está basado en subastas, y los tiempos de llegada de estas subastas están distribuidos geométricamente. La duración de las mismas también, pero vamos a ignorarlas por ahora. Así que, si lo entiendo bien, este segundo mercado es un proceso puntual de Poisson.

Supongamos también que el precio del activo difiere de un mercado a otro. Así que mi idea fue modelar los dos mercados juntos como un proceso de difusión de saltos o picos: El movimiento browniano es proporcionado por el mercado 1, y los saltos ocasionales son proporcionados por el mercado 2. Así que podríamos escribir los dos mercados juntos como:

$$dS = \mu S dt + \sigma S dW + Sd\left(\sum_{i=1}^{N(t)} (V_i -1)\right)$$

Con $N(t)$ un proceso poisson con tasa $\lambda$ como se define en el documento de difusión de saltos de Kou. (Ver: http://www.columbia.edu/~sk75/MagSci02.pdf )

La forma exacta de definir los saltos no es realmente importante. Lo que me importa más es el hecho de que estos saltos no se producen todo el tiempo, sino que se distribuyen estocásticamente, de modo que aparecen de vez en cuando.

Sin embargo, No quiero modelar los 2 mercados con 1 modelo, me gustaría tener modelos separados. Mi intención principal para separar los modelos del mercado 1 y el mercado 2 es porque tengo mercados adicionales, y me gustaría tener un proceso separado para cada mercado con el fin de combinarlos a voluntad.

Digamos que sólo quiero modelar el precio de un activo sólo en el segundo mercado. ¿Podría entonces aislar la parte del salto de la parte de la difusión?

En ese caso tendríamos algo así, supongo:

$$dS = S d\left(\sum_{i=1}^{N(t)} (V_i -1)\right)$$

En caso afirmativo, la tasa de cambio de $S$ sería 0 sin los saltos. Supongo que se podría añadir algún proceso para que el valor de S tenga una reversión de la media (lo he hecho en la imagen de abajo). Y entonces idealmente tengo un modelo que, cuando se simula se ve así:

Preguntas:

• ¿tiene esto sentido? ¿Está "permitido" separar las partes de salto y difusión o podría tener esto consecuencias no deseadas ?
• ¿alguien conoce algo similar en la literatura u otra forma en la que se pueda utilizar un proceso estocástico para modelar un mercado basado en subastas estocásticas?

Answer 1

Más algunas reflexiones que una respuesta definitiva.

• Incluso si se quiere permitir alguna forma de divergencia de precios entre los dos mercados (porque las oportunidades de arbitraje son difíciles de monetizar) es probablemente poco probable que los precios de los dos mercados no estén totalmente correlacionados.

• Si se comienza con un modelo de salto-difusión de Merton 76 para cada mercado: \begin{align} S^1_t=S^1_0\,e^{rt+\sigma_1W^1_t-\frac{\sigma_1^2\,t}{2}}\prod_{i=1}^{N^1_t}(1+U^1_t)\,e^{-\lambda^1t}\\ S^2_t=S^2_0\,e^{rt+\sigma_2W^2_t-\frac{\sigma_2^2\,t}{2}}\prod_{i=1}^{N^2_t}(1+U^2_t)\,e^{-\lambda^2t}\\ \end{align} tendrá que utilizar procesos de Poisson idénticos $N^1_t,N^2_t\,,$ o estarán totalmente descorrelacionados y sin correlación con ambos procesos de Wiener.

• Se trata de una limitación similar a la que se enfrentan los modelos de riesgo de crédito de forma reducida, en los que el impago de diferentes nombres se modela con tiempos de impago distribuidos exponencialmente.

• Los creadores de modelos de crédito han encontrado varias formas de superar esta irreal falta de correlación entre los impagos de diferentes nombres. Deberías buscar en Google cosas como las cópulas o el contagio. Creo que incluso hay una manera de utilizar tres procesos de Poisson que se ponen ingeniosamente juntos para tener dos difusiones de salto correlacionadas.

Al final depende de lo que quieras hacer exactamente con ese modelo. Si eres un experto en esos mecanismos de mercado, podrías incluso inventar el tuyo propio.