Estoy trabajando en algunas aplicaciones de las medidas de desigualdad (desigualdad económica). Al leer un artículo de Kolm (Kolm, S. C., Unequal Inequalities. I, Journal of Economic Theory, 12 pp 416-442, 1976) encontré un resultado que me pareció intrigante y del que me gustaría saber si alguien tiene una referencia o una prueba.
El autor introduce una axiomatización de las medidas de desigualdad económica, por ejemplo $I:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow[0,\infty)$ , por ejemplo "Imparcialidad" ( $I$ es invariante bajo permutaciones); principio de transferencias ( $\partial_iI-(x_i-x_j)\partial_jI\geq0$ ), entre otros.
Las siguientes propiedades son las que me intrigan: Sea $\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^\intercal\in U$ y denota $\bar{\mathbf{x}}=\frac1n\sum^n_{j=1}x_j$ . El autor define índices de bienestar \begin{align} \hat{x}(\mathbf{x})&=\bar{\mathbf{x}}-I(\mathbf{x})\\ \tilde{x}(\mathbf{x})&=(1-I(\mathbf{x}))\bar{\mathbf{x}} \end{align} e introduce las siguientes propiedades en su axiomatización:
(1) (absoluto) Para todos los $1\leq i,j\leq n$ la ración $\frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}}$ depende sólo de $x_i$ y $x_j$ Es decir $$\begin{align}\frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}}=\psi_{ij}(x_i,x_j)\tag{1}\label{one}\end{align}$$ para alguna función $\psi_{ij}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ .
(1') (relativo) Para todos los $1\leq i,j\leq n$ la ración $\frac{\partial_i\tilde{x}}{\partial_j\tilde{x}}$ depende sólo de $x_i$ y $x_j$ Es decir $$\begin{align}\frac{\partial_i\tilde{x}}{\partial_j\tilde{x}}=\phi_{ij}(x_i,x_j)\tag{1'}\label{onep}\end{align}$$ para alguna función $\phi_{ij}:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ .
(1) y (1'), sostiene el autor, pueden llamarse (o etiquetarse) * independencia del bienestar . No hay propiedades adicionales en $I$ excepto que presumiblemente es suave (tan diferenciable como se necesita). Bajo este supuesto general, dice:
Resultados conocidos en economía muestran que (1) o (1') es equivalente a decir que existe una función de este índice social que puede escribirse como una suma de funciones de cada uno de los $x_j$ 's.
Matemáticamente, el autor lo expresa diciendo que existe una función (suave) $F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y (suave) $V_j:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ ( $j=1,\ldots,n$ ) tal que $$\begin{align} \hat{x}(\mathbf{x})= F\big(\sum^n_{j=1}V_j(x_j)\big)\tag{2}\label{two} \end{align}$$ (de manera similar para $\tilde{x}$ ).
El problema: Está claro que si una función $\hat{x}$ es de la forma \eqref {dos}, entonces las relaciones $\frac{\partial_i\hat{x}}{\partial_j\hat{x}}=\frac{V'_i(x_i)}{V'(x_j)}$ dependen de $\mathbf{x}$ sólo a través de $x_i$ y $x_j$ . Es la parte inversa es lo que no me queda claro, es decir, la de una función (suave) $\hat{x}:U\subset \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ satisface una propiedad como en \eqref {uno}, entonces $\hat{x}$ debe ser de la forma \eqref {dos} ( $n\geq3$ ).
Se agradecerá cualquier referencia (o suposición adicional relativa a algunas otras condiciones que deben satisfacer los índices de bienestar).
