En el mundo BS, tenemos el proceso de stock en el espacio de registro $dS_t=(r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dW$ . Supongamos que queremos fijar el precio $f(t,x)=\mathbb{E}_{t,x}[h(S(T)]$ . Usando Feynman-kac, obtenemos \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-rV=0 \end{equation}
Por otro lado, si consideramos el proceso de avance (de nuevo en el espacio logarítmico) $F_t=S_t+r(T-t)$ tenemos el proceso de avance $dF_t=-\frac{1}{2}\sigma^2 dt+\sigma dW$ y el precio se convierte en $f(t,y)=\mathbb{E}_{t,y}[h(F(T)]$ . Utilizando de nuevo F-K, obtenemos \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation}
De alguna manera no consigo transformar la primera EDP a la segunda por cambio de variable directamente desde $S_t$ a $F_t$ . Desde $y=x+r(T-t)$ por la regla de la cadena, $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}$ es decir, el primer orden es el mismo y también el segundo. Así que termino con \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} +(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation} lo cual es obviamente erróneo y no pude averiguar por qué.
