La EDP de Black Scholes en el espacio logarítmico delantero

Question

En el mundo BS, tenemos el proceso de stock en el espacio de registro $dS_t=(r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma dW$ . Supongamos que queremos fijar el precio $f(t,x)=\mathbb{E}_{t,x}[h(S(T)]$ . Usando Feynman-kac, obtenemos $$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-rV=0 \end{equation}$$

Por otro lado, si consideramos el proceso de avance (de nuevo en el espacio logarítmico) $F_t=S_t+r(T-t)$ tenemos el proceso de avance $dF_t=-\frac{1}{2}\sigma^2 dt+\sigma dW$ y el precio se convierte en $f(t,y)=\mathbb{E}_{t,y}[h(F(T)]$ . Utilizando de nuevo F-K, obtenemos $$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation}$$

De alguna manera no consigo transformar la primera EDP a la segunda por cambio de variable directamente desde $S_t$ a $F_t$ . Desde $y=x+r(T-t)$ por la regla de la cadena, $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}$ es decir, el primer orden es el mismo y también el segundo. Así que termino con $$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} +(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-rV=0 \end{equation}$$ lo cual es obviamente erróneo y no pude averiguar por qué.

Answer 1

Probablemente sea mejor utilizar una notación diferente. Así que en primer lugar $$f(t,x) := E_t (h(S_T))$$ y $$g(t, y) := E_t (h(F_T)).$$ Desde $S_T = F_T$ , al no haber arbitraje debemos tener $$g(t,y) = f(t,x) = f(t, y - r(T-t)).$$

Esto significa que $$\frac{\partial g}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial t} + r \frac{\partial f}{\partial x}.$$ Como ya ha señalado $$\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial x}.$$ Utilizando esto y la EDP satisfecha por $f$ se obtendrá entonces la siguiente EDP para $g$ : $$\frac{\partial g}{\partial t} -\frac12 \sigma^2 \left( \frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}\right) = rg$$