Expectativa condicional de estado tras observar las señales públicas y privadas

Question

Estoy leyendo Valor social de la información pública, de Morris y Shin (2002) y tengo una pregunta sobre el cálculo de la expectativa condicional después de observar las señales públicas y privadas.

En su modelo, el Estado $\theta$ se extrae de un previo uniforme impropio sobre la línea real y el agente $i$ observa una señal pública $$y=\theta+\eta$$ Donde $\eta \sim N(0,\sigma_{\eta}^{2})$ y $\eta$ es independiente de $\theta$ . Además, el agente también recibirá una señal privada $$x_{i}=\theta+\epsilon_{i}$$ Donde $\epsilon_{i}\sim N(0,\sigma_{\epsilon}^{2})$ .

Denotemos la precisión de la señal pública como $\alpha$ y la de señal privada como $\beta$ . En particular, $\alpha=\frac{1}{\sigma_{\eta}^{2}}$ y $\beta=\frac{1}{\sigma_{\epsilon}^{2}}$ .

Afirman que, a condición de observar $y$ y $x_{i}$ , $$\mathbb E[\theta|y,x_{i}]=\frac{\alpha y+\beta x_{i}}{\alpha+\beta}$$ .

Mi pregunta es que, ¿cómo derivamos la expresión anterior para la expectativa condicional?

En particular, la principal dificultad para mí es entender qué significa un previo uniforme inadecuado. Por ejemplo, si $\theta$ también se extrae de una distribución normal, entonces sabemos que $\theta$ , $x_{i}$ y $y$ son conjuntamente normales, entonces podemos utilizar la fórmula de la distribución condicional de la distribución normal multivariante para derivar la expectativa condicional deseada. Sin embargo, como $\theta$ está impropiamente distribuido de manera uniforme, no sé cómo derivar la fórmula de arriba, y realmente agradecería si alguien puede darme alguna ayuda sobre esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una prioridad impropia significa que se trabaja con una "medida" previa en lugar de una "medida de probabilidad" previa. Para la prioridad uniforme (impropia) sobre la línea real, basta con tomar la densidad $f(\theta)$ que es constantemente igual a $1$ en $\mathbb{R}$ (es decir, la densidad de la medida de Lebesgue). Se puede hacer esto siempre que todas las densidades posteriores sean densidades de probabilidad bien definidas (es decir, integradas a 1). Véase también Wikipedia .

Si dejamos que $\phi$ denotan la densidad de una normal estándar, tenemos para las pdfs de la señal $$\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right) \quad \text{and} \quad \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right).$$ Si aplicamos la regla de Bayes, la densidad posterior $$ f(\theta|y,x_i)=\frac{1\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)}{\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)~d\theta} $$ es una densidad de probabilidad bien definida porque el producto de dos pdfs normales es de nuevo una pdf normal (por lo que el numerador se integra en 1). En particular, para la media tenemos $$ \int_{-\infty}^{\infty} \theta\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)~d\theta=\frac{\alpha y+\beta x_i}{\alpha+\beta}. $$ Ver aquí para una referencia, pero supongo que podrías intentar verificar esto por ti mismo. Supongo que el punto de usar un previo uniforme y señales normales es que uno obtiene esta fórmula muy conveniente.