¿Dónde está el término $\gamma$ cuando se pasa de la medida $\mathbb Q^{N}$ a $\mathbb Q^{M}$ ?

Question

Considere dos medidas $\mathbb Q^{M}$ y $\mathbb Q^{N}$ , así como los dos numéraires $M$ y $N$ Además, se supone que $X\frac{N}{M}$ es un $\mathbb Q^{M}$ -martingale. Además, la covariación $X$ y $\frac{M}{N}$ satisfacer lo siguiente:

$$dX(t)\cdot d\frac{M(t)}{N(t)} = \frac{M(t)}{N(t)}X(t)\gamma(t)dt$$

Finalmente asumimos:

$$ dX(t) = X(t)(\mu(t)dt+\sigma(t)dW(t))\; \; \; \text{under }\mathbb Q^{M},$$

A continuación se afirma que, utilizando a Girsanov, se deduce

$$ dX(t) = X(t)(\mu(t)+\gamma(t) )dt+\sigma(t)dW(t))\; \; \; \text{under }\mathbb Q^{N} $$

¿Dónde está el término $\gamma$ cuando se pasa de la medida $\mathbb Q^{N}$ a $\mathbb Q^{M}$ ?

Mi intento : Dado que la justificación se hizo utilizando a Girsanov, he tratado de conciliarlo con lo que sé sobre Girsanov.

Tenemos en general que $\mathbb E^{\mathbb Q^{N}}[X]= \mathbb E^{\mathbb Q^{M}}[X\frac{M}{N}]$ es decir $\frac{d\mathbb Q^{N}}{d\mathbb Q^{M}}=\frac{M}{N}$

¿Cómo podemos escribir $$\frac{M(t)}{N(t)}$$ ¿en forma exponencial?

¿Alguna idea de lo que me falta?

Answer 1

A partir de su suposición de que \begin{align*} dX(t)\cdot d\frac{M(t)}{N(t)} &= \frac{M(t)}{N(t)}X(t)\gamma(t)dt,\\ dX(t) &= X(t)\big(\mu(t)dt+\sigma(t)dW(t)\big), \end{align*} en $\mathbb Q^{M}$ podemos especular que \begin{align*} d\frac{N(t)}{M(t)} = -\frac{N(t)}{M(t)}\frac{\gamma(t)}{\sigma(t)}dW(t) \tag{1} \end{align*} como $\frac{N(t)}{M(t)}$ debería ser una martingala bajo $\mathbb Q^{M}$ con los numerarios $M$ . Entonces, bajo $\mathbb Q^{M}$ , \begin{align*} d\frac{M(t)}{N(t)} = \frac{M(t)}{N(t)}\bigg(\frac{\gamma^2(t)}{\sigma^2(t)} dt + \frac{\gamma(t)}{\sigma(t)} dW_t\bigg).\tag{2} \end{align*}

Sin embargo, dudo que realmente haya querido decir \begin{align*} dX(t)\cdot d\frac{N(t)}{M(t)} &= \frac{N(t)}{M(t)}X(t)\gamma(t)dt. \end{align*}

Desde $(1)$ , \begin{align*} \frac{N(t)}{M(t)} = \frac{N(0)}{M(0)} \exp\bigg(-\frac{1}{2}\int_0^t\frac{\gamma^2(s)}{\sigma^2(s)} ds - \int_0^t \frac{\gamma(s)}{\sigma(s)}dW(s) \bigg). \end{align*} Basado en el teorema de Girsanov, $\hat{W}=\{\hat{W}(t), \, t \ge 0\}$ donde, para $t \ge 0$ , \begin{align*} \hat{W}(t) = W(t) + \int_0^t \frac{\gamma(s)}{\sigma(s)}ds, \end{align*} es un movimiento browniano estándar bajo $\mathbb Q^{N}$ . Entonces, \begin{align*} dX(t) = X(t)\Big[\big(\mu(t)-\gamma(t) \big)dt+\sigma(t)d\hat{W}(t)\Big], \end{align*} en $\mathbb Q^{N}$ .