Deshaciendo y editando mi propia respuesta, no para reventar la pregunta, sino para intentar cerrarla/resolverla ya que creo que hay algunas sutilezas interesantes en ella.
También abordaré brevemente el contraejemplo de @MainCom para mostrar que, de hecho, no es un contraejemplo.
Como quiero utilizar el teorema del valor medio, supondré que el proceso de los activos es continuo en $[0,T]$ . Por ejemplo, un modelo de volatilidad estocástica local sin saltos en el precio de los activos satisfará esta condición.
Para simplificar, he fijado el tipo de interés libre de riesgo y la rentabilidad de los dividendos en cero.
Nos interesarán las opciones de vainilla \begin{equation} C\left(S_t,t,K,T\right) := E_t \left[ \left(S_T - K\right)_+ \right], \end{equation} y opciones asiáticas \begin{equation} C\left(A_t,t,K,T\right) := E_t \left[ \left(A_T - K\right)_+ \right], \end{equation} con \begin{equation} A_t := E_t \left[ \frac1T \int_0^T S_u \, du \right] . \end{equation} Dejemos que $BS\left(S_t,t,K,T,I_S (K)\right)$ denota el precio Black-Scholes (BS) de una opción vainilla con volatilidad implícita (IV) $I_S (K)$ y $BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right)$ el precio de la BS de una opción asiática con IV $I_A (K)$ . Estos IVs están definidos por \begin{align} BS\left(S_t,t,K,T,I_S(K)\right) &:= C\left(S_t,t,K,T\right), \\ BS\left(A_t,t,K,T,I_A(K)\right) &:= C \left(A_t,t,K,T\right). \end{align}
Por último, recuerda también el teorema del valor medio de las integrales: Sea $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Entonces existe al menos una $x\in[a,b]]$ tal que $$ f(x) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(u)\, du. $$
Propuesta:
Un límite superior en el precio $BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right)$ de una opción asiática es \begin{equation} BS\left(A_t,t,K,T,I_A(K)\right) \leq \lambda \, BS\left(S_t,t,\lambda^{-1}K' ,T,I_S(\lambda^{-1}K')\right), \end{equation} con $\lambda = \frac{T-t}{T}$ y $K' = K - \frac1T \int_0^t S_u \, du$ .
Prueba:
Podemos escribir \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &:= E_t \left[ \left(A_T - K\right)_+ \right] \\ &= E_t \left[ \left(\frac1T \int_0^T S_u \, du - K \right)_+ \right] \\ &= E_t \left[ \left(\frac{\lambda}{T-t} \int_t^T S_u \, du - K' \right)_+ \right] \end{align*} con $\lambda = \frac{T-t}{T}$ y $K' = K - \frac1T \int_0^t S_u \, du$ . Según el teorema del valor medio, para cada trayectoria del activo, existe al menos una $\tau\in [t,T]$ tal que $$ S_\tau = \frac{1}{T-t} \int_t^T S_u du. $$ Dejemos que $\tau^*$ ser el primero de estos $\tau$ . Está claro que cada $\tau \in [t,T]$ es una variable aleatoria, y en particular $\tau^* \in [t,T]$ es una variable aleatoria. El problema de determinar el precio de una opción asiática puede entonces reformularse de la siguiente forma: $$ BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) = \lambda E_t \left[ \left(S_{\tau^*} - \lambda^{-1}K' \right)_+ \right]. $$
Denota por $q(r)$ la distribución de $\tau^*$ . Entonces \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &= \lambda \int_t^T E_t\left[ \left(S_{\tau^*} - \lambda^{-1} K' \right)_+ | \tau^* = r \right] q(r)\, dr \end{align*}
Ahora, \begin{align*} E_t\left[ \left(S_{\tau^*} - \lambda^{-1} K' \right)_+ | \tau^* = r \right] &= E_t\left[ \left(E_{\tau^*}(S_T) - \lambda^{-1} K' \right)_+ | \tau^* = r \right] \\ &\leq E_t\left[E_{\tau^*} \left(S_T - \lambda^{-1} K' \right)_+ | \tau^* = r \right] \\ &= E_t\left[\left(S_T - \lambda^{-1} K' \right)_+ | \tau^* = r \right] \\ &=E_t\left[\left(S_T - \lambda^{-1} K' \right)_+\right] \end{align*} donde la desigualdad se deduce de la desigualdad de Jensen, y claramente $S_T$ es independiente de $\tau^*$ .
Por lo tanto, \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &\leq \lambda \int_t^T E_t\left[ \left(S_T - \lambda^{-1} K' \right)_+ \right] q(r)\, dr\\ &= \lambda \, E_t\left[ \left(S_T - \lambda^{-1} K' \right)_+ \right] \\ &= \lambda \, BS\left(S_t,t,\lambda^{-1}K' ,T,I_S (\lambda^{-1}K')\right). \end{align*}
Corolario: El IV de una opción asiática recién acuñada está acotado por encima del IV de una opción vainilla con el mismo strike y tiempo de vencimiento.
Prueba: Para una opción asiática recién acuñada $t=0$ y por lo tanto $\lambda = 1$ y $K=K'$ .
En cuanto al contraejemplo de MainCom: Aunque es cierto que el arbitraje de calendario no puede aplicarse en general a tiempos aleatorios, no es un contraejemplo ya que el máximo de un activo en $[0,T]$ no puede escribirse como una integral con límites integrales iguales a $0$ y $T$ . Esto significa que el teorema del valor medio ni siquiera puede aplicarse al ejemplo de MainCom, por lo que el argumento del tiempo aleatorio no es aplicable.
Obsérvese que los límites están en consonancia con la derivación más directa dada por ejemplo aquí. Sin embargo, he pensado que aplicar el teorema del valor medio en este contexto también es interesante.
Una idea de última hora: Toda la derivación se puede acortar a \begin{align*} BS\left(A_t,t,K,T,I_A (K)\right) &= \lambda E_t \left[ \left(S_{\tau^*} - \lambda^{-1}K' \right)_+ \right] \\ & = \lambda E_t \left[ \left(E_{\tau^*}(S_T) - \lambda^{-1}K' \right)_+ \right] \\ &\leq \lambda E_t \left[ E_{\tau^*} \left(S_T - \lambda^{-1}K' \right)_+ \right] \\ &= \lambda E_t \left[ \left(S_T - \lambda^{-1}K' \right)_+ \right]. \end{align*}
