Estrategias diferentes de dos jugadores en un juego infinitamente repetido

Question

Me preocupa una pregunta de la Teoría de los Juegos relacionada con los juegos infinitamente repetidos. Normalmente, las estrategias como Grim Trigger o Tit-for-Tat se discuten en un contexto en el que ambos jugadores tienen la misma estrategia.

Sin embargo, me pregunto cómo proceder cuando dos jugadores juegan con estrategias diferentes, digamos que el jugador 1 juega Grim Trigger y el jugador 2 juega Tit-for-tat .

Mi pregunta es si existe algún $\delta\in(0,1)$ para el que un perfil de { Grim Trigger , Tit-for-tat } constituye un equilibrio.

Los pagos del juego de escenario son los siguientes:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline & C & D \\\hline C & 3,3 & 0,4 \\\hline D & 4,0 & 2,2 \\\hline \end{array}

Answer 1

Sólo para que tengamos un entendimiento común de las estrategias que has mencionado:

Gatillo de la muerte : "Jugar $C$ a menos que el resultado de cualquier etapa anterior no sea $(C,C)$ ; en ese caso, juega $D$ ."

Tit-for-tat : "Empieza por jugar $C$ y, a continuación, reproducir la acción utilizada por el otro jugador en la etapa anterior".

Por lo tanto, en la trayectoria de equilibrio, el resultado $(C,C)$ se observará, y cada jugador obtiene un pago descontado de \begin{equation} 3+3\delta+3\delta^2+\cdots=\frac{3}{1-\delta}.\tag{1} \end{equation}

Supongamos que el jugador 1 que adopta el gatillo lúgubre se desvía sólo en la primera etapa. El resultado en la etapa 1 sería $(D,C)$ y el resultado en todas las etapas posteriores sería $(D,D)$ según el perfil de la estrategia. Así, la recompensa del jugador 1 por la desviación sería \begin{equation} 4+2\delta+2\delta^2+\cdots=4+\frac{2\delta}{1-\delta}.\tag{2} \end{equation} $(1)$ y $(2)$ implican que una desviación de una etapa es no rentable para el jugador 1 si $\delta\ge\frac12$ .

Supongamos que el jugador 2, que adopta el "ojo por ojo", se desvía sólo en la primera etapa. El resultado en la etapa 1 sería $(C,D)$ y $(D,C)$ en la etapa 2, $(D,D)$ en todas las etapas posteriores. La ganancia del jugador por la desviación sería \begin{equation} 4+0\delta+2\delta^2+2\delta^3+\cdots=4+\frac{2\delta^2}{1-\delta}.\tag{3} \end{equation} $(1)$ y $(3)$ implican que una desviación de una etapa es no rentable para el jugador 2 si $\delta\ge 1-\frac{\sqrt 2}{2}$ .

Tenga en cuenta que $\frac12>1-\frac{\sqrt2}2$ . Por lo tanto, mientras $\delta\ge\frac12$ El jugador 1 que usa el gatillo de la muerte y el jugador 2 que usa el tetazo pueden ser sostenidos como un Equilibrio de Nash del infinitamente repetido dilema del prisionero. Sin embargo, el perfil de estrategia no es un equilibrio perfecto de subjuego (por una razón similar a la de que un perfil de estrategia simétrica de "ojo por ojo" no es perfecto de subjuego).

Answer 2

No hay mucho que hacer con su pregunta, así que disculpe la vaguedad de mi respuesta:

En primer lugar, como las estrategias no son simétricas, se encontrará un $\delta_1$ y $\delta_2$ para los respectivos jugadores.

Para cada jugador:

1. Comprueba los resultados de una desviación óptima de una sola vez (sólo se desvía este periodo) y aceptando el castigo. Tenga en cuenta que la estrategia de los otros jugadores le indica lo que ocurrirá en el futuro.

Para el jugador de estrategia sombría, el jugador de teta jugará al castigo en el próximo periodo, luego volverá a la jugada original, luego al castigo, etc. (dos sumas infinitas)

Para el jugador de teta, la sombría estrategia jugará al castigo siempre.

Esto podría ser confuso, pero su pregunta no ofrece suficiente respuesta.

2. Comprueba que el castigo es compatible con los incentivos. Es decir, si el castigo constituye un equilibrio de Nash. La razón es que el castigo tiene que ser una "amenaza creíble" o, de lo contrario, ninguno lo seguirá. (Quizás piense en la Destrucción Mutua Asegurada)