Es $(\mathbb{R}^m)^n$ el espacio de coordenadas reales de dimensión $m\cdot n$ ?

Question

Una pregunta muy sencilla: digamos que hay n individuos y cada individuo $i\leq n$ tiene un paquete de consumo $x_i\in \mathbb{R}^m$ (es decir, hay $m$  tipos de bienes). Supongamos que el bienestar social es una función $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ . El dominio de $f$ es claramente $(\mathbb{R}^m)^n$ . Mi pregunta es si el conjunto $(\mathbb{R}^m)^n$ es lo mismo que $\mathbb{R}^{m\cdot n}$ ?

En otras palabras, ¿es $(\mathbb{R}^m)^n$ el espacio de coordenadas reales de dimensión $m\cdot n$ ?

Answer 1

No. Y sí. Para cualquier conjunto $X$ tenemos (por definición) $$X^k=\underbrace{X\times\cdots\times X}_{k\text{-times}}=\{(x_1,x_2,\ldots,x_k)\mid x_i\in X\text{ for }i=1,\ldots,k\}.$$

Ahora dejemos, por ejemplo, $m=2$ y $n=3$ . Entonces $$(\mathbb{R}^m\big)^n=(\mathbb{R}^m\big)^n$$ $$=\big(\mathbb{R}^2\big)^3=\Big\{\big((x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6)\big)\mid (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2,(x_3,x_4)\in\mathbb{R}^2, (x_5,x_6)\in\mathbb{R}^2\Big\}$$ $$=\Big\{\big((x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6)\big)\mid x_i\in\mathbb{R}\text{ for }i=1,\ldots,6\Big\}.$$ Esto es diferente de $$\mathbb{R}^{m\cdot n}=\mathbb{R}^{2\cdot 3}=\mathbb{R}^6$$ $$=\Big\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\big)\mid x_i\in\mathbb{R}\text{ for }i=1,\ldots,6\Big\}.$$ Así que no son lo mismo, formalmente $(\mathbb{R}^m\big)^n\neq \mathbb{R}^{m\cdot n}$ Sin embargo, es evidente que existe una forma natural de asociar puntos de un espacio con puntos del otro y esta forma de conectarlos preserva mucha estructura. Son equivalentes como espacios vectoriales, espacios topológicos y demás. Por esta razón, a menudo se pueden identificar estos dos espacios y, a menos que se hagan cosas muy extrañas, poco puede salir mal.