Aplicabilidad de la AAD (diferenciación automática adjunta) a una función indiferenciable en algún punto

Question

Aplicabilidad de la AAD(Diferenciación automática adjunta) a una función indiferenciable en algún punto.

Hace poco aprendí sobre la diferenciación automática adjunta (DAA) mientras estudiaba la simulación de Montecarlo. A través de los artículos [1], [2] y [3], revisé la definición de AAD y ejemplos de varias ingenierías financieras como la opción cesta, la opción asiática, la opción americana y el CVA basado en un IRS fijo por flotante. Su idea básica es descomponer el proceso de diferenciación en funciones y operaciones intrínsecas, aumentando así la eficiencia del proceso. Por lo tanto, este método debe tener diferenciación en todos los pasos. Aquí surge una pregunta. ¿No se puede aplicar este método ADD a una función de precios con una función de pago in-diferenciable? Por ejemplo, quiero aplicar este método a una acumulación de rangos.

Creo que este método es realmente eficaz. ¿Pero no se puede aplicar a funciones imposibles de diferenciar, como en el ejemplo que he presentado? Lo siento por mi pobre inglés y mis expresiones.

[1] Griegos rápidos por diferenciación algorítmica escrito por Luca Capriotti

[2] Aplicaciones financieras de la diferenciación algorítmica, escrito por Chengbo Wang

[3] AAD y Monte Carlo de mínimos cuadrados: opciones rápidas al estilo de las Bermudas y griegas XVA escrito por Luca Capriotti, Yupeng Jiang y Andrea Macrina

Answer 1

En 2017, organicé una Minisimposio sobre la diferenciación automática y sus aplicaciones en la industria financiera para compartir ideas con otros académicos sobre la forma en que la DAA podría aplicarse a las cuestiones financieras. Olivier Pironneau presentó una forma de aplicar el DAA a funciones que no son diferenciables en todas partes. Con Gilles Pagès, muestran cómo reutilizar un resultado en Giles (2008) que permiten reescribir la expresión de $\mathbb{E}(V^\theta(t))$ tal que su diferenciación con respecto a $\theta$ no requiere derivar $V$ ¡!

El truco consiste en escribir el esquema de Euler de $V$ a lo largo de $t$ y diferenciar las expresiones de recurrencia de este esquema.

Otro truco es observar que $${\rm Re}\left(\frac{f(a+i\delta a)-f(a)}{i\delta a}\right)={\rm Im}\left(\frac{f(a+i\delta a)}{\delta a}\right)=f'(a)+f^{(3)}(a)\frac{\delta a^2}{6}+o(\delta a^3)$$ donde no hay más $\delta a$ ¡en el denominador!

También utilizan la sustitución de la parte no diferenciable de las funciones por una versión suave, sustituyendo a Dirac en $x$ por $1/(a\sqrt{\pi})\exp -x^2/a^2$ y luego lanzar $a$ hasta el infinito.

Mi consejo es que leas la sección 4 del documento y mires si puedes utilizarla para tu problema específico.