Tiempo de retorno esperado de Markowitz

Question

Tal vez sea una pregunta algo tonta para los más experimentados de la comunidad, pero lleva un tiempo dándome vueltas en la cabeza.

Digamos que tenemos una cartera de 10.000 dólares.

Aplicaremos el modelo de media-varianza de Markowitz:

$$E[R_P] =w_1X_1 + w_2X_2$$

donde $E[R_P]$ es la rentabilidad esperada de la cartera y $w_i$ la ponderación para el rendimiento de un determinado activo $X_i$ . Asumo un horizonte de inversión de un año.

Digamos que la cartera se compone de acciones ( $X_1$ ) y los bonos ( $X_2$ ) y es una cartera ponderada a partes iguales (50/50).

La rentabilidad será del 4% para los bonos y del 6% para las acciones durante el año. La rentabilidad de la cartera durante un año es entonces

$$E[R] = (0.5 \cdot 0.06)+(0.5 \cdot 0.04) = 0.05$$

Supongamos que la bolsa ha tenido una buena racha y que en 6 meses se ha alcanzado el objetivo de rentabilidad del 6%.

Ahora hay dos posibilidades según yo:

1. Puede continuar con la posición de renta variable y esperar una rentabilidad superior al 6%.
2. Cierra sus posiciones en renta variable y ahora tiene el 51,4% (6% de rentabilidad sobre 5.000 dólares) de su cartera en efectivo que puede volver a invertir en acciones o bonos.

Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Son correctas mis suposiciones sobre un determinado marco temporal?
2. ¿Existe algún método que pueda resolver en base a la desviación estándar de los bonos y las acciones para ver a dónde debe ir el efectivo?

No sé si se me ha ido la olla del todo o no, ¡cualquier comentario será más que bienvenido!

Answer 1

Horizonte temporal

El marco de media-varianza se basa en un único periodo de inversión, es decir, se asume el mismo horizonte de inversión $T$ para todos los inversores (que puede ser un año, o cualquier otro periodo de tiempo). Tenga en cuenta los sesgos resultantes, si el "verdadero" horizonte de inversión de un inversor difiere de sus suposiciones (véase aquí ).

Asignación óptima de la cartera

La asignación óptima de la cartera se basa en la covarianza de sus activos. La varianza de la rentabilidad de su cartera es

$$\sigma_P^2 = \sum_{j=1}^N{\left( W_j^2\sigma_j^2 \right)} + \sum_{j=1}^N{\sum_{\substack{k=1 \\ k\neq j}}^N{\left( W_j W_k \sigma_{jk} \right)}}$$

con $\sigma_{ij}$ como la covarianza del activo $i$ y $j$ . $W_i$ denota el peso del activo $i$ .

Si está interesado en la cartera con una varianza mínima de la rentabilidad de la cartera (es decir, la cartera con un riesgo mínimo) y supone dos oportunidades de inversión $X_S$ (acciones) y $X_B$ (bonos), entonces hay que calcular $\frac{\partial \sigma_P}{\partial W_S} =0$ , con la restricción $W_S + W_B = 1$ . Esto da lugar a $W_S = \frac{\sigma_S^2}{\sigma_S^2 + \sigma_B^2}$ .

Sin embargo, el conjunto de todas las carteras posibles (basadas en todas las oportunidades de inversión) define toda una región en el espacio de la media-varianza. Suponiendo inversores racionales, se obtiene una hipérbola de carteras eficientes denominada frontera eficiente . La decisión de invertir en una determinada cartera eficiente se basa en la tolerancia al riesgo de los inversores $q$ . La cartera óptima se calcula entonces minimizando $$w^T \Sigma w - q \cdot r^T w$$ con el vector $w$ de ponderación de cada activo, $\Sigma$ como la matriz de covarianza de los rendimientos de los activos (que es el vector $r$ ).

Le recomiendo que lea el artículo de wikipedia como introducción o los capítulos 5 y 6 de Elton et al. (2014) para una descripción más formal y precisa (que también proporciona el caso de una oportunidad de inversión sin riesgo).