Apostar o no apostar (¿resolver un sistema de EDOs tal vez?)

Question

Supongamos que tenemos dinero. En cada momento $0\le t \le T$ podemos tomar cualquiera de las dos acciones 1 que es guardar nuestro dinero hasta $T$ digamos en un banco y tienen un rendimiento esperado de $f(t)$ o tomar la acción 2 que es comprar un billete de lotería, tienen un rendimiento esperado de $g(t)$ ¡y el sistema desaparece entonces!

El problema es que no tenemos una expresión de forma cerrada para $f(t)$ pero sabemos que $$\frac{df(t)}{dt}-f(t)+\alpha=0.$$ Del mismo modo, no sabemos qué $g(t)$ es pero sabemos que $$g(t)=h(t)-\gamma,$$ donde $$\frac{dh(t)}{dt}-h(t)+\beta=0.$$

$\alpha, \beta, \gamma>0$ y también sabemos que no importa la acción que tomemos, el sistema desaparece en $t=T$ así que $f(T)=h(T)=0$ Por lo tanto, nos gustaría tomar una acción que maximice nuestro rendimiento.

Si sabemos que hay un intervalo de tiempo, o incluso un punto en el tiempo, digamos $\tau$ donde es mejor comprar el billete de lotería, ¿cómo podemos calcular la rentabilidad correspondiente a ese intervalo de tiempo?

Podemos resolver las dos EDOs y vemos que ambas $f(t)$ y $h(t)$ y en consecuencia $g(t)$ son decrecientes y cóncavos en $t$ si utilizamos $f(T)=h(T)=0$ como condición límite. ¡Y eso es todo lo que pude hacer!

¿Alguien puede darme una pista?

Answer 1

Puede que esté completamente equivocado, pero déjame intentarlo.

Suponemos una especie de agente neutral al riesgo que decide únicamente sobre los rendimientos esperados. Como se ha especificado en los comentarios, la función $f(t)$ representa el proceso de tipo corto, es decir, el interés pagado en el intervalo $(t,t+dt)$ es $f(t)dt$ . En cualquier momento $t$ si pasamos de invertir al tipo libre de riesgo a comprar el billete de lotería con un rendimiento esperado (total) a partir de ese momento igual a $g(t)$ . Ambos $f(T)$ y $g(T)$ son cero.

El decisor elige un tiempo óptimo $t^*$ para optimizar su riqueza total futura esperada, que llamamos $W_T$ no como para desordenar la notación:

$$W_T=\left( \int_0^{t^*}f(s)ds \right)g(t^*)$$ Es decir, ganan al tipo corto libre de riesgo $f$ hasta el momento de la decisión y luego utilizar todo su dinero, invertir en el billete de lotería y esperar $g(t^*)$ veces lo que invirtieron.

Resolver para $f$ obtenemos $f(t)=\alpha+c_1e^{t}$ y la condición $f(T)=0$ fija la constante $c_1=-\alpha e^{-T}$ para que

$$f(t)=\alpha\left(1-e^{-(T-t)}\right)$$

Igualmente,

$$h(t)=\beta\left(1-e^{-(T-t)}\right)$$

o

$$g(t)=h(t)-\gamma = \beta\left(1-e^{-(T-t)}\right) -\gamma$$

Efectivamente, $W_T$ es ahora una función de $t^*$ . Dados los parámetros, podríamos trazar $t^*$ entre $0$ y $T$ y seleccionar el valor que maximiza $W_T$ o calculamos la primera derivada de $W_T$ por ejemplo $t^*$ y resolver el problema de $t^*$ (comprobando que es un máximo, por supuesto), encontrando así el nivel óptimo.

¿Tiene sentido?