Obtención de la dinámica del modelo Vasicek mediante Itô

Question

Consideremos la siguiente expresión para el tipo de interés a corto plazo $$r_t=r_0 e^{\beta t}+\frac{b}{\beta}\left(e^{\beta t}-1\right)+\sigma e^{\beta t}\int_0^te^{-\beta s}dW_s \tag{1},$$ que es la solución de la siguiente versión del conocido modelo de Vasicek $$dr_t=\left(b+\beta t \right)dt+\sigma dW_t \tag{2}.$$ Sé cómo pasar de (1) a (2) según los pasos seguidos aquí por ejemplo, y cómo hacerlos retroceder de (2) a (1) respectivamente.

Sin embargo, me gustaría pasar de (1) a (2) utilizando el lema de Ito, o utilizando la diferenciación de alguna otra manera, ¿sería posible? Si es así, ¿alguien puede mostrar los pasos? Está escrito en la página 328 de Klebaner (1998) que independientemente de la derivación, es fácil ver que (1) satisface (2).

Answer 1

Su ecuación (2), $dr_t = (b+\beta t)dt + \sigma dW_t$ es una versión abreviada de:

$$r_t=r_0+\int_{h=0}^{h=t}(b+\beta h)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h$$

El Proceso Ito se define como:

$$X_t=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h)dh+\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h$$

con $a()$ y $b()$ siendo algunas funciones cuadradas-integrables de $t$ y $X_t$ : por lo tanto $r_t$ es un proceso Ito (con $a=(b+\beta t)$ y $b=\sigma$ obviamente, los dos $b$ son diferentes, para facilitarlo, utilizaré $\mu$ abajo en lugar de su $b$ ).

El lema de Ito establece que cualquier función suave y dos veces diferenciable del tiempo y del proceso de Ito $X_t$ es decir $F(t, X_t)$ se regirá por la siguiente ecuación:

$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$

Si queremos utilizar el lema de Ito explícitamente, el truco consiste en establecer $F(X_t, t)$ a $F(r_t,t):=r_t e^{\beta t}$ y aplicar el lema a esta expresión, como sigue:

$$r_te^{\beta t}=F(r_0,t_0)_{=r_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\beta r_h e^{\beta h}}+\frac{\partial F}{\partial r}_{=e^{\beta h}}*a(r_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial r^2}_{=0}*b(r_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial r}_{=e^{\beta h}}b(r_h,h)\right)dW_h=\\=r_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\beta r_h e^{\beta h}+e^{\beta h}\beta(\mu- r_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\beta h} \sigma\right)dW_h=\\=r_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\beta h}\beta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\beta h} \sigma\right)dW_h$$

Ahora, para obtener la solución de $r_t$ el último paso es simplemente dividir ambos lados por $e^{\beta t}$ para aislar el $r_t$ término en el LHS, lo que da:

$$r_t=r_0e^{-\beta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\beta(h-t)}\beta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\beta(h-t)} dW_h$$

Lo que hicieron en Quantpie es menos "mecánico" y probablemente más elegante: probablemente lo que un entrevistador querría ver en una entrevista :) Pero simpatizo con los enfoques "mecánicos", yo siempre fui más bien un tipo mecánico, nunca elegante :)