¿Por qué el YTM es igual al tipo de cupón a la par?

Question

Sé que el YTM de un bono con cupón es el tipo de interés $i$ que verifica

$ P =\frac{C}{(1+i)} + \frac{C}{(1+i)^2} + ...+ \frac{C}{(1+i)^n} + \frac{F}{(1+i)^n} $

donde $P$ es el precio, $C$ es el pago del cupón y $F$ es el valor nominal.

No entiendo por qué $i = C/F$ cuando $P=F$ . En palabras: No puedo entender por qué el rendimiento al vencimiento es igual al tipo de cupón cuando el bono tiene un precio nominal.

Por un lado no puedo resolver esa ecuación de arriba para que se verifique este hecho, pero podría necesitar algunas herramientas que aún no tengo para hacerlo. Por otro lado no tiene sentido intuitivo para mí a nivel conceptual.

¿Qué me falta?

Answer 1

Dejemos que $P$ denotan el precio sucio, $F$ el valor nominal y $i$ el YTM. Utilizando la suma geométrica obtenemos

\begin{align} P &= \sum_{j=1}^n \frac{C}{{(1+i)}^j} + \frac{F}{(1+i)^n}\\ &= C\frac{1-\frac{1}{{(1+i)}^n} }{i} + \frac{F}{(1+i)^n} \end{align}

y por lo tanto

\begin{align} P=F \Leftrightarrow & F= C\frac{1-\frac{1}{{(1+i)}^n} }{i} + \frac{F}{(1+i)^n} \\ \Leftrightarrow & C\left(1-\frac{1}{{(1+i)}^n}\right) =i \left( F- \frac{F}{(1+i)^n} \right)\\ \Leftrightarrow & \frac{C}{F} = i \end{align}

Answer 2

El precio de un bono está determinado por la suma de los flujos de caja descontados más el valor nominal descontado del bono. Intuitiva y académicamente, un bono no puede valer más que la suma de los flujos de caja futuros más el valor futuro. En el caso de que el rendimiento sea igual al tipo de cupón, el precio es igual a la par porque el tipo al que se descuenta hace que la suma de los flujos de caja descontados y el valor nominal descontado sea igual al valor nominal actual. Entendiendo esto, observando la ecuación deberías ser capaz de convencerte de que es así. He aquí un ejemplo sencillo utilizando un pagaré a 3 años con un cupón del 3%:

$$ 100 = \frac{3}{(1+0.03)^1} + \frac{3}{(1+0.03)^2} + \frac{100+3}{(1+0.03)^3}$$ $$ 100 = 2.912621 \ + \ 2.827788 \ + \ 94.25959 $$

Hazme saber si eso ayuda.