Equilibrio secuencial y perfecto bayesiano: ¿un ejemplo?

Question

Mi pregunta es muy sencilla. ¿Podría alguien dar un ejemplo de cómo determinar un Equilibrio Secuencial dado un conjunto de Equilibrios Perfectos Bayesianos?

La definición de equilibrio secuencial donde las creencias consistentes fuera del equilibrio son límites a secuencias de estrategias completamente mezcladas es un poco abstracta, por lo que no estoy seguro de cómo utilizarla en la práctica.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Toma el Juego de cerveza y quiche como ejemplo.

Verifiquemos que lo siguiente es una PBE débil:

• Ambos tipos ( $S$ y $W$ ) del jugador 1 elige la cerveza ( $B$ );
• Cuando el jugador 2 ve una opción de cerveza, cree que el jugador 1 es del tipo $S$ con probabilidad $0.9$ es decir $\mu_2(S\mid B)=0.9$ y elige $R$ en respuesta;
• En caso de que el jugador 2 vea una opción de quiche ( $Q$ ), podría tener cualquier creencia que asigne una probabilidad no superior a $\frac12$ al jugador 1 ser tipo $S$ es decir $\mu_2(S\mid Q)=p\in[0,\frac12]$ y él elegiría elegiría $F$ .

La figura siguiente representa el equilibrio anterior en un árbol de juego.

Dada la estrategia del jugador 2 $(R,F)$ es decir $R$ después de $B$ y $F$ después de $Q$ el jugador 1 es mejor que elija $B$ : \begin{align} u_1(B,(R,F)\mid S)=3&>0=u_1(Q,(R,F)\mid S)\\ u_1(B,(R,F)\mid W)=2&>1=u_1(Q,(R,F)\mid W). \end{align}

Dada la estrategia del jugador 1 $\sigma_1(B\mid S)=\sigma_1(B\mid W)=1$ es decir, elegir $B$ independientemente del tipo, la creencia del jugador 2 después de $B$ puede derivarse de la regla de Bayes: \begin{align} \mu_2(S\mid B)&=\frac{0.9\cdot\sigma_1(B\mid S)}{0.9\cdot\sigma_1(B\mid S)+0.1\cdot\sigma_1(B\mid W)}=\frac{0.9\cdot 1}{0.9\cdot 1+0.1\cdot 1}=0.9 \end{align} Dada esta creencia, es mejor que el jugador 2 elija $R$ después de $B$ : \begin{equation} u_2(R,\sigma_1\mid B)=0.9(0)+0.1(0)=0>-0.8=0.9(-1)+0.1(1)=u_2(F,\sigma_1\mid B). \end{equation} La regla de Bayes no se aplica en el conjunto de información tras $Q$ ya que $Q$ se juega con probabilidad cero según $\sigma_1$ . Por lo tanto, cualquier creencia arbitraria satisfaría el requisito de la PBE débil. Sin embargo, para justificar $F$ como mejor respuesta, la creencia debe ser tal que \begin{align} u_2(F,\sigma_1\mid Q)=p(-1)+(1-p)(1)>p(0)+(1-p)(0)=u_2(R,\sigma_1\mid Q) \quad\Rightarrow\quad p\le\frac12. \end{align}

Así, hemos demostrado que el perfil de estrategia y el sistema de creencias propuestos son una PBE débil.

A continuación, demostramos que esta PBE débil es también una SE. Para ello, tenemos que demostrar, en particular, que las creencias del jugador 2 especificadas en la PBE débil pueden justificarse mediante una secuencia de estrategias completamente mixtas del jugador 1 que convergen a su estrategia de equilibrio.

Que el tipo $S$ adoptar una estrategia de comportamiento mixta que juegue $B$ con probabilidad $(1-\epsilon_S)$ y $Q$ con $\epsilon_S$ . Del mismo modo, dejemos que el tipo $W$ jugar $B$ con probabilidad $(1-\epsilon_W)$ y $Q$ con $\epsilon_W$ . Queremos demostrar que existen secuencias de $\epsilon_S$ y $\epsilon_W$ que convergen a cero, de manera que las creencias de equilibrio del jugador 2 después de $B$ y $Q$ son los límites de las creencias derivadas mediante la regla de Bayes de estas estrategias completamente mezcladas.

Primero consideremos la creencia del jugador 2 después de $B$ . Bajo la estrategia completamente mixta del jugador 1, la creencia del jugador 2 es \begin{equation} \widetilde \mu_2(S\mid B)=\frac{0.9(1-\epsilon_S)}{0.9(1-\epsilon_S)+0.1(1-\epsilon_W)}, \end{equation} que converge claramente a $\mu_2(S\mid B)=0.9$ como $\epsilon_S,\epsilon_W\to0$ .

A continuación, consideremos la creencia del jugador 2 después de $Q$ . Bajo la estrategia completamente mixta del jugador 1, la creencia del jugador 2 es \begin{equation} \widetilde \mu_2(S\mid Q)=\frac{0.9\epsilon_S}{0.9\epsilon_S+0.1\epsilon_W}, \end{equation} y queremos que sea igual a $p\le\frac12$ como $\epsilon_S,\epsilon_W\to0$ . Supongamos que $p>0$ . Fijar un pequeño pero positivo $\epsilon_S$ , y establecer $\epsilon_W=\frac{9(1-p)}p\epsilon_S$ . Por lo tanto, \begin{equation} \widetilde\mu_2(S\mid Q)=\frac{0.9\epsilon_S}{0.9\epsilon_S+0.1\cdot\frac{9(1-p)}p\epsilon_S}. \end{equation} Como $\epsilon_S\to0$ , lo que implica $\epsilon_W\to0$ tenemos $\widetilde\mu_2(S\mid Q)\to\mu_2(S\mid Q)=p$ . Si $p=0$ , entonces podemos establecer $\epsilon_W=\sqrt{\epsilon_S}$ y esto dará el mismo resultado de convergencia.

Dado que las creencias del jugador 1 son trivialmente consistentes, concluimos que el perfil de estrategia y el sistema de creencias de la PBE débil es un SE.