El papel de Bergemann y Morris demuestra un teorema basado en algunos fundamentos sobre los conjuntos de información y sus expansiones. Estoy tratando de entender el teorema una intuición, más precisamente cito las partes apropiadas que necesitamos saber, es decir:
$\textbf{Definition 4:}$ (Combinación). La estructura de la información $S^ = (T^, \pi^:\Theta\to\Delta(T_i^*))$ es una combinación de estructuras de información $S^1 = (T^1, \pi^1)$ y $S^2 = (T^2, \pi^2)$ si
$$T_i^*=T_i^1\times T_i^2,\quad\text{for each $ i $}$$ y $$\sum_{t_i^2\in T_i^2}\pi^*(t_i^1,t_i^2|\theta)=\pi(t_i^1|\theta),\quad\text{for each $ t_i^1 en T_i^1 $ and $ \N - Theta $} $$
$$\sum_{t_i^1\in T_i^1}\pi^*(t_i^1,t_i^2|\theta)=\pi(t_i^2|\theta),\quad\text{for each $ t_i^2 en T_i^2 $ and $ \N - Theta $} $$
Obsérvese que la definición anterior no impone restricciones sobre si las señales $t_i^1\in T_i^1$ y $t_i^2\in T_i^2$ son independientes o están correlacionados, condicionados a $\theta$ , bajo $\pi^$ . Así, cualquier par de estructuras de información $S^1$ y $S^2$ tendrá muchas estructuras de información combinadas.
$\textbf{Definition 5:}$ (Expansión). Una estructura de información $S^$ es una expansión de $S^1$ si $S^$ es una combinación de $S^1$ y alguna otra estructura de información $S^2$ .
Supongamos que el perfil de la estrategia $\beta$ se jugó en $(G, S^)$ , donde $S^$ es una combinación de dos estructuras de información $S^1$ y $S^2$ . Ahora bien, si el analista no observó las señales de la estructura de información combinada $S^$ pero sólo las señales de $S^1$ entonces el comportamiento bajo el perfil de estrategia $\beta$ induciría una regla de decisión para $(G, S^1)$ . Formalmente, el perfil de la estrategia $\beta$ para $(G, S^)$ induce la regla de decisión para $(G, S^1)$ :
\begin{equation}\sigma(a|t_i^1,\theta):=\frac{\sum_{t_i^2\in T_i^2}\pi^*(t_i^1,t_i^2|\theta)\Pi_{j=1}^i\beta_{j}(a_j|t_i^1,t_i^2)}{\pi(t_i^1|\theta)}\end{equation} para cada $a\in A$ siempre que $\pi^1(t_i^1|\theta) > 0$ .
Basándose en lo anterior los autores dan el siguiente therem que hace una conexión entre el equilibrio bayesiano de Nash y el equilibrio bayesiano correlacionado, es decir
$\textbf{Theorem 1:}$ Una regla de decisión $\sigma$ es un equilibrio correlacionado de Bayes de $(G, S)$ si y sólo si, para alguna expansión $S^$ de $S$ existe un equilibrio Bayes Nash de $(G, S^)$ que induce $\sigma$ .
Tengo las siguientes preguntas
$\textbf{Question 1:}$ Definen la norma $\sigma(a|t_i^1,\theta)$ en una forma de hacer la conexión entre los conjuntos de BNE y BCE y no puedo entender por qué lo hicieron?
$\textbf{Question 2:}$ ¿Cuál es la interpretación de $\sigma(a|t_i^1,\theta)$ en términos de porbabilidad se puede decir que es la regla bayesiana, sin embargo todos estos parámetros como $\pi^*$ , $\beta$ y $\pi(t_i^1|\theta)$ tiene alguna interpretación intuitiva ¿qué es?
$\textbf{Question 3:}$ Por qué es tan especial esta regla obediente $\sigma(a|t_i^1,\theta)$ para el BNE y el BCE y ¿es suficiente para hacer la transición de un conjunto de soluciones al otro? Estoy un poco confundido porque parece que los dos conjuntos son de alguna manera el uno el subconjunto del otro.
$\textbf{Question 4:}$ ¿Están el BNE y el BCE directa o indirectamente relacionados? Si no es así, ¿cuál es el propósito de hacer esto aquí?
